¿Las estadísticas de Fermi-Dirac explican las antipartículas?

Las antipartículas surgen naturalmente al estudiar la ecuación de Dirac dentro de la teoría cuántica de campos. Recuerde que podemos expandir un campo de espinor de Dirac como una onda plana, a saber,

$$\psi= \sum_{s=1}^2 \int \frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{p}}} \left[ b^s_p u^s(p)e^{ipx}+c^{s\dagger}_p v^s(p)e^{-ipx}\right]$$

y de manera similar para el campo conjugado. Observe la aparición de dos operadores distintos de creación y aniquilación ; estos dan lugar al electrón y al positrón, la antipartícula.

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El espinor de Dirac se transforma bajo una representación de la doble cubierta de$SL(2,\mathbb{C})$que es una representación reducible . Por lo tanto, podemos proponer una descomposición o ansatz ,

$$\psi=u(p)e^{-ipx}$$

dónde$u(p)$es un espinor de Dirac de cuatro componentes que se puede dividir en un conjunto de espinores de dos componentes conocidos como espinores de Weyl (y con una condición de realidad, espinores de Majorana):

$$u(p)=\left( \begin{array}{c} \sqrt{p\cdot \sigma}\, \xi\\ \sqrt{p \cdot \sigma}\, \xi\\ \end{array} \right)$$

para$\xi^{\dagger}\xi=1$. La antipartícula, un positrón, corresponde a una solución de frecuencia negativa , a saber,

$$v(p)=\left( \begin{array}{c} \sqrt{p\cdot \sigma}\, \eta\\ \sqrt{p \cdot \sigma}\, \eta\\ \end{array} \right)$$

dónde$\psi=v(p)e^{+ipx}$en cambio. Observe que ambas soluciones tienen energía positiva , como

$$E=\int \mathrm{d}^3 x \, T^{00}=\int \mathrm{d}^3 x \, \bar{\psi}(m-\gamma^i \partial_i)\psi \geq 0$$

(La expresión anterior se obtiene aplicando el teorema de Noether a la simetría de traslación del espacio-tiempo que da lugar al tensor de energía-momento).

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Tanto el electrón como el positrón son fermiones, obedecen a la misma teoría cuántica de campo y satisfacen las estadísticas de Fermi-Dirac que, en términos generales, dictan que cuantificamos la teoría utilizando relaciones anticonmutación en lugar de relaciones de conmutación; de lo contrario, obtendríamos un hamiltoniano ilimitado desde abajo.