Simetría de calibre para formas p

Podemos generalizar fácilmente el Maxwell Lagrangiano$^\star$para cualquier$p$-forma de conexión. Si denotamos,$A^{(p)}$a$p$-forma de conexión de calibre, entonces la intensidad de campo viene dada simplemente por,$F=\mathrm{d}A^{(p)}$. Para ser invariante de calibre, el lagrangiano debe ser invariante bajo,$^\dagger$

dónde$\alpha$es un exacto$(p-1)$-forma. Evidentemente si la acción sólo depende de$F$, entonces es invariante de calibre ya que la derivada exterior aplicada dos veces es nilpotente, es decir$\mathrm{d}^2=0$. Un ejemplo para el caso$p=2$:

y el lagrangiano viene dado por$\mathcal{L}\sim H^2$, por potencial$B$. En general, la intensidad de campo está dada por,

$\star$La definición de la intensidad de campo como simplemente la derivada exterior del campo de calibre solo se cumple si la conexión es una forma valorada de álgebra de Lie para un grupo abeliano.$G$.

$\dagger$De hecho, el término agregado al potencial no necesita ser exacto. El único requisito es que la derivada exterior desaparezca, es decir, que esté cerrada. Ser exacto implica que está cerrado. Para el caso$p=1$, a menudo expresamos el término como un 'derivado total'.

Puede incluir formas p en una teoría de una manera que no implique invariancia de calibre, al igual que puede escribir una teoría de un vector masivo al incluir un$m^2 A^{\mu} A_{\mu}$término en el lagrangiano. Pero en muchas teorías con formas p hay una invariancia de medida como la que anotaste. En ese caso, el Lagrangiano se construiría a partir de la intensidad de campo$F=dA$(que en sí mismo es manifiestamente invariancia de calibre para campos abelianos), y posiblemente otros términos dependiendo de$p$, la dimensión del espacio-tiempo, etc.