Simetría conjugada para probar el producto interno

Question

Simetría conjugada para probar el producto interno

Matemáticas
productos internos
álgebra lineal
integración compleja

Ellis V.

Tenemos que demostrar que

⟨ pag, q ⟩ = \int_{a}^{b} \bar{pag (t)} q (t)

$\langle p,q\rangle=\int_a^b \overline{p(t)}q(t)$ es un Producto interior.

Yo (creo) que sé qué hacer: tengo que probar la linealidad, la simetría conjugada y la definición positiva. Ya he probado la linealidad y la definición positiva, pero tengo dificultades para probar la simetría conjugada. He llegado tan lejos (que no es muy lejos):

\bar{⟨ q, pag ⟩} = \bar{\int_{a}^{b} \bar{pag (t)} q (t)}

$\overline{\langle q,p \rangle } = \overline{\int_a^b \overline{p(t)}q(t)}$

Yo se que sigue con $\overline{\int_a^b \overline{p(t)}q(t)}=\int_a^b \overline{\overline{p(t)}q(t)}= \int_a^b p(t)\overline{q(t)}=\langle p,q \rangle$ pero no entiendo completamente por qué

\bar{\int_{a}^{b} \bar{pag (t)} q (t)} = \int_{a}^{b} \bar{\bar{pag (t)} q (t)}

$\overline{\int_a^b \overline{p(t)}q(t)}=\int_a^b \overline{\overline{p(t)}q(t)}$ Ese es el caso.

¡Sería genial si alguien pudiera explicarlo! :)

Respuestas (2)

Simetría conjugada para probar el producto interno

alex prevost · Answer 1

Por definición, para una función compleja $f(t) = u(t) + iv(t)$ ( $u$ y $v$ reales) tenemos

\int_{a}^{b} F (t) := \int_{a}^{b} tu (t) + i \int_{a}^{b} v (t) .

$\int_a^b f(t) := \int_a^b u(t) + i \int_a^b v(t).$

De este modo

\bar{\int_{a}^{b} F (t)} = \bar{\int_{a}^{b} tu (t) + i \int_{a}^{b} v (t)} = \int_{a}^{b} tu (t) - i \int_{a}^{b} v (t) = \int_{a}^{b} \bar{F (t)} .

$\overline{\int_a^b f(t)} = \overline{\int_a^b u(t) + i\int_a^b v(t)} = \int_a^b u(t) - i\int_a^b v(t) = \int_a^b \overline{f(t)}.$

jon warneke · Answer 2

Para una función de valor complejo $f$ , siempre podemos descomponerlo en sus partes real e imaginaria

F = tu + i v

$f = u + iv$ dónde

u

$u$ es la parte real de

f

$f$ ,

v

$v$ es la parte imaginaria de

f

$f$ , y

u

$u$ y

v

$v$ ambas son funciones de valor real. Entonces

\int F := \int tu + i \int v ⟹ \bar{\int F} = \bar{\int tu + i \int v} = \int tu - i \int v = \int \bar{F},

$\int f := \int u + i \int v \implies \overline{\int f} = \overline{\int u + i \int v} = \int u - i \int v = \int \overline{f},$ dónde

\bar{f} = u - i v

$\overline{f} = u - i v$ .

Simetría conjugada para probar el producto interno

Ellis V.

Respuestas (2)

alex prevost

jon warneke

Invertibilidad con respecto a los espacios de productos internos

Único u∧vu∧vu\cuña v tal que (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\cuña v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} para todos los w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

Valor propio de autoadjunto

Prueba sobre transformaciones lineales autoadjuntas

Demostrar la siguiente matriz conmuta con cada matriz

Relación entre diferentes grupos ortogonales

¿Dos vectores complejos distintos de cero que son perpendiculares pero NO ortogonales?

Producto de una matriz simétrica y antisimétrica

Producto interior en Espacio Complejo - Prueba

¿Una estructura compleja lineal conserva un producto interno real?