Valor propio de autoadjunto

La solución propuesta no está bien escrita, pero parece que$\lambda$es un valor propio arbitrario de$T^*T$y$x$es un vector propio normalizado asociado con$\lambda$. En ese caso,

Sin embargo, sugeriría un enfoque más directo. Nota$T^*T$es autoadjunto, y dado$x\in V$,$\langle T^*Tx,x\rangle = \langle Tx,Tx\rangle \ge 0$. Por eso,$T^*T$es semidefinido positivo. Por un argumento similar$TT^*$es semidefinido positivo.

Podemos suponer que el vector propio$x$está normalizado, es decir$\langle x,x \rangle =1$. Si ese no es el caso al principio, diga$\langle x,x \rangle = c>0$entonces$\langle \frac{1}{\sqrt c} x, \frac{1}{\sqrt c} x \rangle =1$y el vector$\frac{1}{\sqrt c}x$sigue siendo un vector propio. Por lo tanto$\langle T^*Tx,x \rangle = \langle \lambda x,x \rangle =\lambda \langle x,x \rangle = \lambda$.