Producto interior en Espacio Complejo - Prueba

Al estudiar una introducción a los productos internos y los espacios complejos de Hermitan, me encontré atrapado para tratar con un ejemplo más que clásico de un producto interno.

El ejercicio completo es el siguiente:

Dejar$V =C([0,1])$, el espacio complejo de las funciones continuas :$[0,1] \to \mathbb C$.

Demuestre que lo siguiente es un producto interno:

$\langle x, y\rangle = \int_0^1f(x)\overline{g(x)}dx$

Ahora bien, si V se convierte en el espacio vectorial de las funciones acotadas y parcialmente continuas$\big($las funciones acotadas$f:[0,1] \to \mathbb C$para el cual existe una sucesión finita$0 = a_0 < a_1 < \dots < a_n = 0$con$f$continua en cada$(a_i,a_{i+1})$ $\big)$¿La forma superior sigue siendo un producto interior?

¿Necesito mostrar las propiedades del producto interno Hermitan? Si es así, ¿cómo procedo? No sé ni por dónde empezar con esto y parece un ejemplo elemental ya que en todas partes se usa simplemente como un producto interno y nunca se pide la prueba. Agradecería cualquier ayuda.