Demostrar la siguiente matriz conmuta con cada matriz

Question

Demostrar la siguiente matriz conmuta con cada matriz

Matemáticas
productos internos
álgebra lineal
análisis matricial

bernardo pan

Esta pregunta es de Un segundo curso de álgebra lineal . Algunas terminologías apropiadas se definen a continuación:

Definición 1. Dejar $V$ Sea un espacio de producto interno complejo de dimensión finita sobre y $\phi:V\to\mathbb{C}$ un funcional lineal. El vector de Riesz de $\phi$ es un vector $w\in V$ tal que por cada $v\in V$ ,
$ϕ (v) = ⟨ v, w ⟩,$ $\phi(v)=\langle v,w\rangle,$ cuya existencia y unicidad se derivan del teorema de representación de Riesz y de las propiedades básicas de los productos internos.

Definición 2. Una matriz $C\in M_n(\mathbb{C})$ es un conmutador si $C=AB-BA$ para algunas matrices $A,B\in M_n(\mathbb{C})$ . Por el teorema de Shoda, $C$ es un conmutador si y solo si $\operatorname{tr}(C)=0$ .

Ahora la pregunta es la siguiente:

Pregunta. Considerar $M_n(\mathbb{C})$ como un espacio de producto interno debajo del producto interno de Frobenius $\langle A,B\rangle_F=\operatorname{tr}(B^*A)$ . Dejar $\phi: M_n(\mathbb{C})\to\mathbb{C}$ sea un funcional lineal tal que $\phi(C)=0$ para cada conmutador $C$ . Suponer que $Y$ es el vector de Riesz de $\phi$ . Pruebalo $Y$ conmuta con cada matriz en $M_n(\mathbb{C})$ .

Una vez probado esto, es trivial que $Y$ es una matriz escalar de donde $\phi$ se convierte en un múltiplo de la traza funcional. Sin embargo, estoy atascado con probar esto. estaba pensando en $\phi(AY-YA)=0$ , pero la dimensión del espacio kernel de $\phi$ es positivo, por lo que no podemos inferir $AY-YA=0$ de eso.

Cualquier sugerencia será apreciada.

Actualizaciones. Muchas gracias a las diversas soluciones publicadas o en los comentarios a continuación. Estoy de acuerdo en que es algo más fácil de probar $Y$ ser una matriz escalar directamente, sin embargo, todavía me pregunto si hay alguna forma de probar $Y$ conmuta con cada matriz sin mostrar que es escalar , ya que el libro indica que tal enfoque podría existir mediante sus declaraciones. (No estoy haciendo ninguna tarea, sino simplemente usando este libro para repasar algunos conocimientos sobre la teoría de matrices, por lo que se agradecen mucho las diferentes soluciones o ideas).

marcavs

¿Qué intentaste?

bernardo pan

@markvs mencioné que probé con el conmutador

A Y - Y A

$AY-YA$ , que no funciona.

usuario1551

Una forma posible es probar que

ϕ

$\phi$ es (hasta un factor escalar) la traza funcional primero. Esto debería ser fácil. Resulta que

Y

$Y$ es una matriz escalar y por lo tanto

Y

$Y$ conmuta con cada matriz.

F_M_

Tal vez puedas intentar encontrar la forma de

Y

$Y$ eligiendo adecuado

C

$C$ (usar matrices elementales) y computación

φ (C) = ⟨ C, Y ⟩ ?

$\varphi(C) = \langle C,Y\rangle?$

bernardo pan

@ usuario1551 gracias por tu comentario. De hecho, su idea funciona, aunque olvidé mencionar que estaba buscando una solución diferente a esta. De hecho, dicho método fue explotado en el capítulo anterior. Aquí el libro pide una prueba diferente en su lugar.

bernardo pan

@F_M_ también gracias por tu comentario. De hecho, supongamos

Y = [y_{i j}]

$Y=[y_{ij}]$ . Entonces

ϕ (E_{i j}) = ⟨ E_{i j}, Y ⟩_{F} = tr (Y^{*} E_{i j}) = (Y^{*})_{j i} = \bar{y_{i j}}

$\phi(E_{ij})=\langle E_{ij},Y\rangle_F=\operatorname{tr}(Y^*E_{ij})=(Y^*)_{ji}=\overline{y_{ij}}$ . Las matrices elementales aquí parecen no ser suficientes...

F_M_

@BernardPan, de hecho, pero tenga en cuenta que para

E_{i j}, i \neq j,

$E_{ij}, i\neq j,$ tenemos

tr (E_{i j}) = 0

$\text{tr}(E_{ij}) = 0$ entonces por el teorema de Shoda

φ (E_{i j}) = 0.

$\varphi(E_{ij})=0.$ Esto solo dará eso

Y

$Y$ es una matriz diagonal :)

bernardo pan

@F_M_ ¡Ya veo! Gracias por tu comentario. Este enfoque también funciona.

Respuestas (2)

Demostrar la siguiente matriz conmuta con cada matriz

@markvs mencioné que probé con el conmutador $AY-YA$ , que no funciona.
Una forma posible es probar que $\phi$ es (hasta un factor escalar) la traza funcional primero. Esto debería ser fácil. Resulta que $Y$ es una matriz escalar y por lo tanto $Y$ conmuta con cada matriz.
Tal vez puedas intentar encontrar la forma de $Y$ eligiendo adecuado $C$ (usar matrices elementales) y computación $\varphi(C) = \langle C,Y\rangle?$
@ usuario1551 gracias por tu comentario. De hecho, su idea funciona, aunque olvidé mencionar que estaba buscando una solución diferente a esta. De hecho, dicho método fue explotado en el capítulo anterior. Aquí el libro pide una prueba diferente en su lugar.
@F_M_ también gracias por tu comentario. De hecho, supongamos $Y=[y_{ij}]$ . Entonces $\phi(E_{ij})=\langle E_{ij},Y\rangle_F=\operatorname{tr}(Y^*E_{ij})=(Y^*)_{ji}=\overline{y_{ij}}$ . Las matrices elementales aquí parecen no ser suficientes...
@BernardPan, de hecho, pero tenga en cuenta que para $E_{ij}, i\neq j,$ tenemos $\text{tr}(E_{ij}) = 0$ entonces por el teorema de Shoda $\varphi(E_{ij})=0.$ Esto solo dará eso $Y$ es una matriz diagonal :)
@F_M_ ¡Ya veo! Gracias por tu comentario. Este enfoque también funciona.

mao wao · Answer 1

Aquí hay una solución que podría estar más en el espíritu de lo que buscaba el autor del libro:

Por suposición,

ϕ (C) = t r (Y^{*} C)

$\phi(C)=\mathrm{tr}(Y^\ast C)$ para todos

C \in M_{n} (C)

$C\in M_n(\mathbb C)$ . En particular, si

C = A^{*} B - B A^{*}

$C=A^\ast B-BA^\ast$ , entonces

0 = ϕ (C) = t r (Y^{*} (A^{*} B - B A^{*})) = t r ((Y^{*} A^{*} - A^{*} Y^{*}) B) = ⟨ A Y - Y A, B ⟩_{F} .

$0=\phi(C)=\mathrm{tr}(Y^\ast(A^\ast B-BA^\ast))=\mathrm{tr}((Y^\ast A^\ast-A^\ast Y^\ast)B)=\langle A Y-Y A,B\rangle_F.$ Tomando

B = A Y - Y A

$B=A Y-Y A$ , usted obtiene

⟨ A Y - Y A, A Y - Y A ⟩_{F} = 0

$\langle A Y-Y A,A Y-Y A\rangle_F=0$ , por eso

A Y - Y A = 0

$AY-YA=0$ .

Gerd · Answer 2

Dejar $U$ denota el núcleo de la traza funcional. Como $U$ tiene codimensión $1$ tenemos $U^\bot = [I]$ . De este modo $Y= \lambda I + C$ para algún escalar $\lambda$ y algo $C \in U$ . Ahora $0=\phi(C)=\langle C,Y \rangle =\overline{\lambda}\langle C,I \rangle + \langle C,C \rangle = \|C\|^2$ . Entonces, $Y= \lambda I$ .

Demostrar la siguiente matriz conmuta con cada matriz

bernardo pan

marcavs

bernardo pan

usuario1551

F_M_

bernardo pan

bernardo pan

F_M_

bernardo pan

Respuestas (2)

mao wao

bernardo pan

Gerd

Invertibilidad con respecto a los espacios de productos internos

Único u∧vu∧vu\cuña v tal que (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\cuña v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} para todos los w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

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