Invertibilidad con respecto a los espacios de productos internos

Question

Invertibilidad con respecto a los espacios de productos internos

Matemáticas
productos internos
álgebra lineal

David C Huang

ejercicio dejar $(V, \langle \,\, , \,\,\rangle)$ ser un espacio de producto interno y dejar $\mathcal{L} = \{v_1, \dots, v_n\} \subset V$ . Pruebalo $\mathcal{L}$ es linealmente independiente si y solo si

A = [\begin{matrix} ⟨ v_{1}, v_{1} ⟩ & ⟨ v_{2}, v_{1} ⟩ & \dots & ⟨ v_{norte}, v_{1} ⟩ \\ ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ & ⟨ v_{2}, v_{2} ⟩ & \dots & ⟨ v_{norte}, v_{2} ⟩ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⟨ v_{1}, v_{norte} ⟩ & ⟨ v_{2}, v_{norte} ⟩ & \dots & ⟨ v_{norte}, v_{norte} ⟩ \end{matrix}]

$A = \begin{bmatrix} \langle v_1, v_1 \rangle & \langle v_2, v_1 \rangle & \dots & \langle v_n, v_1 \rangle \\ \langle v_1, v_2 \rangle & \langle v_2, v_2 \rangle & \dots & \langle v_n, v_2 \rangle \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \langle v_1, v_n \rangle & \langle v_2, v_n \rangle & \dots & \langle v_n, v_n \rangle \\ \end{bmatrix}$

es invertible

Para el $(\Rightarrow)$ dirección de avance, si suponemos $\mathcal{L}$ es linealmente independiente, entonces sabemos que si

a_{1} v_{1} + \dots a_{norte} v_{norte} = 0

$a_1v_1 + \dots a_nv_n = 0$

entonces cada uno $a_i = 0, \hspace{0.4cm} 1 \leq i \leq n$ . Ahora, sabemos que ortogonal implica lineal independiente, pero la independencia lineal no necesariamente implica ortogonalidad. Entonces es complicado ver cómo llegaremos a la conclusión. $\det(A) \neq 0$ , es decir $A$ es invertible

Para el $(\Leftarrow)$ dirección hacia atrás, suponemos que $A$ es invertible y asi $\det(A) \neq 0$ . Ahora, desde $\det(A) \neq 0$ , entonces existe $v_i, v_j \in \{v_1, \dots, v_n\}$ de modo que

⟨ v_{i}, v_{j} ⟩ \cdot det (A^{*}) \neq 0

$\langle v_i, v_j \rangle \cdot \det(A^*) \neq 0$

dónde $A^*$ es la matriz cuadrada obtenida de $A$ eliminando el $i^{th}$ columna y $j^{th}$ fila. En otras palabras, al menos un término de la $n \times n$ determinante de $A$ es distinto de cero.

¿Estos enfoques van en la dirección correcta o estoy engañado? No estoy seguro de cómo completar la prueba para cualquier dirección. Cualquier consejo o sugerencia es muy apreciada de antemano.

Respuestas (1)

Invertibilidad con respecto a los espacios de productos internos

pista44 · Answer 1

Sugerencia _ Dejar $V=[v_1~\cdots~v_n]$ ser la matriz de vectores columna $v_i$ . Entonces la matriz en cuestión es $V^\dagger V$ (suponiendo que sus productos internos complejos sean conjugados-lineales en el primer argumento; si estamos hablando de espacios de productos internos reales, podemos simplemente ignorar las cosas complejas). Aviso $a^\dagger(V^\dagger V)a=\|Va\|^2$ .

En términos más explícitos (y también sin coordenadas si no desea escribir vectores como columnas):

[\begin{matrix} \bar{a_{1}} & \dots & \bar{a_{norte}} \end{matrix}] [\begin{matrix} ⟨ v_{1}, v_{1} ⟩ & \dots & ⟨ v_{1}, v_{norte} ⟩ \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ⟨ v_{norte}, v_{1} ⟩ & \dots & ⟨ v_{norte}, v_{norte} ⟩ \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{1} \\ ⋮ \\ a_{norte} \end{matrix}] = ‖ a_{1} v_{1} + \dots + a_{norte} v_{norte} ‖^{2}

$\begin{bmatrix} \overline{a_1} & \cdots & \overline{a_n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \langle v_1,v_1\rangle & \cdots & \langle v_1,v_n\rangle \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle v_n,v_1\rangle & \cdots & \langle v_n,v_n\rangle \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} = \|a_1v_1+\cdots+a_nv_n \|^2$

De hecho, para espacios reales de productos internos, $\det(V^T V)$ (el determinante de Grammian ) es el volumen al cuadrado $\mathrm{vol}^2$ del paralelotopo atravesado por $v_1,\cdots,v_n$ . Cuando la dimensión de $V$ coincide con el número de vectores $n$ , este es el caso especial que $\det V=\mathrm{vol}$ , pero por lo demás es más general.

Esto se puede generalizar aún más a un producto interno en el poder exterior $\Lambda V$ que se puede utilizar para calcular el "factor de distorsión de volumen" asociado con la proyección ortogonal de un subespacio sobre otro.

¿Qué tiene que ver esto con el problema propuesto? No es obvio lo que esto está afirmando.
@EmilyBurkenhamen La pista revela la matriz hermítica $V^\dagger V$ es positivo-semidefinido, y además que $\{v_i\}$ es linealmente independiente si y si $V^\dagger V$ es positivo-definido. Tenga en cuenta que las matrices definidas positivas se pueden distinguir de otras matrices semidefinidas positivas por sus determinantes positivos.

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David C Huang

Respuestas (1)

pista44

David C Huang

pista44

Único u∧vu∧vu\cuña v tal que (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\cuña v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} para todos los w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

Valor propio de autoadjunto

Prueba sobre transformaciones lineales autoadjuntas

Demostrar la siguiente matriz conmuta con cada matriz

Simetría conjugada para probar el producto interno

Relación entre diferentes grupos ortogonales

¿Dos vectores complejos distintos de cero que son perpendiculares pero NO ortogonales?

Producto de una matriz simétrica y antisimétrica

Producto interior en Espacio Complejo - Prueba

¿Una estructura compleja lineal conserva un producto interno real?