¿Qué condición cumplen las coordenadas globales?

Esta puede ser una pregunta tonta o vaga:

¿Hay algún criterio que un tensor métrico deba cumplir de modo que las coordenadas en las que se expresa puedan llamarse globales? O, alternativamente, ¿cuál es la definición de coordenadas globales? Por ejemplo, ¿por qué es un sistema de coordenadas para A d S norte llamado global mientras que otros no lo son?

En particular, no estoy preguntando si existen coordenadas globales, sino cómo se puede verificar si un conjunto de coordenadas dadas es global. Por inspección del tensor métrico o lo que es lo mismo el elemento de línea.

En realidad, esto podría responder a su pregunta < mathoverflow.net/questions/308925/… >
@N.Steinle, no necesita los símbolos menor que/mayor que alrededor de los enlaces. Además, también puede usar [text](link)notación para hipervínculos.
El "tensor de matriz" es algo redundante, ya que cualquier tensor es un operador lineal, y cualquier matriz que sea de interés en física probablemente se transforme en un tensor (o algo estrechamente relacionado, como una densidad de tensor). ¿ De verdad te refieres al tensor métrico ? Si no quiere decir "tensor métrico", entonces no entiendo qué tiene que ver el material sobre un "tensor de matriz" con el resto de la pregunta: ¿qué matriz tiene en mente y por qué sería? ¿importante?
Esa parte de la matriz fue un error tipográfico extraño. Por supuesto que quise decir métrica, arreglé esto. Además, los enlaces que envió N. Steinle están, por lo que puedo ver, más relacionados con la existencia. Sin embargo, estaba preguntando cómo se podría verificar una elección particular de coordenadas si es global.

Respuestas (2)

El requisito mínimo para que un gráfico de coordenadas se pueda utilizar en la relatividad general es esencialmente que la métrica, expresada como una matriz, sea siempre finita e invertible. Es decir, ambos gramo i j y gramo i j debe existir Esto requiere que la métrica no sea degenerada (que es un criterio independiente de las coordenadas, básicamente la métrica debe tener la firma correcta) y que no haya singularidades de coordenadas cuando la métrica se exprese por componentes en términos de estas coordenadas particulares.

Dependiendo de lo que queramos hacer, normalmente querremos imponer requisitos de regularidad más estrictos que este. Por ejemplo, probablemente queramos que la métrica, expresada en estas coordenadas, sea tal que podamos tomar las derivadas necesarias para calcular el tensor de Riemann; de lo contrario, no podríamos enunciar las ecuaciones de campo de Einstein.

Un conjunto válido de coordenadas globales es simplemente un gráfico de coordenadas válido que cubre todos los puntos en el espacio-tiempo. No hay ningún requisito de que trabajemos en un gráfico global o de que exista dicho gráfico.

Entonces, ¿es un criterio suficiente que el determinante no sea cero en cada punto (la invertibilidad que mencionó) y que no haya singularidades en el rango de valores en los que se definen las variables?
@Michael: Eso sería necesario, pero no suficiente para la mayoría de los propósitos. El segundo párrafo de mi respuesta describe criterios más estrictos que serían necesarios y suficientes para muchos propósitos en GR. No existe un criterio universalmente acordado sobre cuál es la condición de regularidad correcta, porque depende en cierta medida de lo que esté tratando de hacer. Por ejemplo, si observa un libro matemáticamente riguroso como Hawking y Ellis, describen toda una familia de condiciones de regularidad diferentes, que pueden aumentarse o disminuirse según sea necesario.
Ok, suena bien. Acepté tu respuesta como la mejor para esta pregunta.

Básicamente, esto se debe a la topología del espacio-tiempo. También se debe a cómo representamos las coordenadas.

Tome una esfera - por ejemplo la tierra. Si intentáramos representar con el tipo de gráficos que vemos en los libros, es decir, un cuadrado, vemos que nunca podemos hacer esto con una sola página, siempre necesitamos más de una. Esto se debe a que un cuadrado es esencialmente plano pero una esfera no lo es.

Si en cambio tratáramos de representarlo con un globo, vemos de inmediato que solo uno es necesario.

Ahora, el aparato matemático de la geometría diferencial se basa en un atlas de parches y estos parches están modelados aquí solo en el análogo de los cuadrados: espacios euclidianos. No permite ningún otro tipo.

Por lo tanto, si está modelando el espacio-tiempo como una esfera, y usa geometría diferencial estándar para representarlo, su atlas no será global, en el sentido de requerir solo un parche, siempre necesitará más de uno.

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