¿Sigue siendo válida una prueba si sólo el autor la entiende?

Desde un punto de vista neo-intuicionista basado en la suposición de Kant de que el espacio y el tiempo son aspectos del pensamiento humano en lugar de la realidad (ya sea que siga o no a Brouwer directamente al encontrar cuestionable toda negación), las matemáticas no son una descripción objetiva de algún mundo conceptual, es una exploración de las intuiciones humanas compartidas y hasta qué punto pueden aprovecharse mediante la combinación entre ellas. Es, en ese sentido, la rama más antigua de la psicología racional, si es que es una ciencia, y no una rama privilegiada de las ciencias que resultan ser "exactas".

Desde ese punto de vista, diría que la corrección es, en el fondo, una emoción, un sentimiento de acuerdo con la intuición. Especialmente en el caso de las matemáticas, buscamos expresar cómo se alinea un conjunto de intuiciones, y no un hecho real.

Codificamos varias partes de las matemáticas que hemos acordado capturar una intuición en forma verificable. Pero la codificación en sí misma solo se convertirá en una norma comunitaria si apela de manera suficientemente amplia a una cierta respuesta emocional cultivada.

Estamos obligados a aceptar combinaciones de cosas ya probadas en cosas nuevas solo porque sentimos que deberíamos, y porque hemos asentido a la lógica básica que da las reglas de combinación. Si no podemos tener la impresión de que hemos visto las conexiones entre las cosas combinadas, no estamos de acuerdo.

Incluso si alguien puede, estamos tratando de aislar las intuiciones compartidas , por lo que, desde este punto de vista, queremos que suficientes personas participen para que confiemos en que estos no son ejemplos idiosincrásicos o erróneos. Así que no, una prueba tiene que ser examinada por varias personas y no solo debe ser mecánicamente correcta, sino también confiable.

Sólo un kantiano radical, como Brouwer, mantendría que las intuiciones básicas no pueden entrar en conflicto. Y elegir ver la intuición de esa manera lleva a la decisión de que cosas como la negación y el infinito completo no son intuitivas, aunque siguen apareciendo en explicaciones simplistas. Todavía son intuiciones, pero necesitan refinamiento.

El hecho de que cuando persigues un grupo de intuiciones fuertes lo suficientemente lejos, a menudo entran en conflicto con otras igualmente fuertes no es una refutación de la noción, solo su forma más radical. Las formas posteriores de neointuicionismo ven que las intuiciones entran en conflicto . Y miran lo que sucede con los matemáticos que pasan por esos lugares como prueba de que tienen razón sobre lo que realmente están haciendo las matemáticas.

Tenemos, por ejemplo, la paradoja de Russell "¿Se contiene a sí mismo el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos?" En eso podemos ver que cuando los ponemos juntos, la negación, la cuantificación universal y la contención resultan en algo ilógico.

Pero resolver ese problema sigue siendo el análisis de las intuiciones, seleccionando y eligiendo entre ellas o reemplazándolas con otras formulaciones más convincentes. Zermelo y Fraenkel reemplazan la noción de cuantificación universal desenfrenada con una exploración de lo que entendemos por formar un conjunto, Brouwer limita la negación a lo que puede validarse constructivamente, Quine y Lawvere remodelan la noción de contención referencial o merelógicamente para que sea direccional y las cosas sólo pueden contenerse a sí mismas de una manera más trivial.

Así que terminamos con las semillas de tres ramas completas de las matemáticas de esta resolución: teoría de conjuntos, análisis constructivo y teoría de categorías. ¿Pero cuál era el objetivo? El objetivo era afinar una u otra de estas intuiciones para que pudiera combinarse libremente con otras. Esta no es la prueba de que la intuición no es el foco de las matemáticas, es evidencia del proceso de cuestionamiento de la intuición espacial en curso.

No existe una rama exitosa de las matemáticas que no esté, o al menos no haya estado originalmente, impulsada por la necesidad de refinar un conjunto dado de intuiciones. La geometría y todas las formas de análisis, incluso la geometría no euclidiana y los espacios de funciones, funcionan desde nuestra visión del espacio: el hecho de que quieras usar solo una parte de un complejo de intuiciones y combinarlo con otras opciones no impide que sean tuyas. focus -- y las variedades son todas localmente euclidianas por una razón. El álgebra funciona a partir de la necesidad de refinar nuestras ideas de factorización de mecanismos complejos en partes simples: la teoría de grupos no se trata de operadores, se trata de la clasificación de grupos por factorización. La topología se trata de los problemas de qué es un interior y qué es un límite, algo que es intuitivamente relevante para nosotros incluso si nunca sucede realmente en la naturaleza. etc etc etc etc

Nos gusta pretender que todas las axiomatizaciones son igualmente válidas, pero de hecho, elegimos axiomas que representan intuiciones, y cuando no encajan, o decidimos que las intuiciones con las que eventualmente entran en conflicto son más fuertes o más importantes que las que modelan, los cambiamos . Y no mirar el éxito de varios campos es una tontería. No decimos 'pero toda esa física fallida también es física', y la afirmación formalista de que las axiomatizaciones aleatorias que no capturan ninguna relevancia y finalmente simplemente mueren siguen siendo matemáticas es igualmente tonta.

" Un idioma que no entiendo no es un idioma ". (Wittgenstein, MS 109)

¿Sigue siendo válida una prueba si sólo el autor la entiende?

No lo creo.

Véase Yuri Manin, Un curso de lógica matemática para matemáticos (2010), página 45:

Una prueba se convierte en prueba sólo después del acto social de “aceptarla como prueba”. Esto es tan cierto para las matemáticas como para la física, la lingüística o la biología. La evolución de los criterios comúnmente aceptados para que un argumento sea una prueba es un tema casi intacto en la historia de la ciencia. En cualquier caso, el ideal de lo que constituye una demostración matemática de una “verdad no obvia” ha permanecido invariable desde la época de Euclides: debemos llegar a tal verdad a partir de hipótesis “obvias”, o afirmaciones ya probadas, mediante de una serie de deducciones elementales explícitamente descritas y “obviamente válidas”.

Así, el método de la deducción es un método matemático por excelencia .

[...] Cada prueba que se escribe debe ser aprobada y aceptada por otros matemáticos, a veces por varias generaciones de matemáticos. Mientras tanto, tanto el resultado como la prueba en sí pueden ser refinados y mejorados.

Esta es realmente una pregunta filosófica abierta e interesante. Por un lado, convencer es una parte importante de la demostración, pero tenemos teorías lógico-matemáticas de deducción que establecen estándares de prueba, y uno podría pensar que respetar estos estándares debería ser suficiente. La pregunta es particularmente importante cuando se trata de pruebas asistidas por computadora: ¿debemos confiar en ellas cuando nadie las entiende realmente?

Sospecho que cuando uno simplemente convence mostrando, está implícito que en principio podría proporcionarse una prueba más rigurosa, y por eso es convincente. Pero puede haber sorpresas. En el otro extremo, alguien podría haber encontrado una prueba válida pero no pudo convencer a nadie de que es válida. Pero hay una incertidumbre epistémica: tal vez cometió un error en alguna parte. Entonces, la capacidad de convencer trae confianza epistémica. Pero en última instancia, diría que alguien aún podría tener razón aunque nadie lo entienda (todavía). Aunque admito que las cosas son potencialmente más complejas, porque uno podría preguntarse: ¿de qué está hablando exactamente esta persona? (¿Y es importante el tema o solo es relevante la estructura de la prueba?)

Puede leer este artículo sobre el tema http://m-phi.blogspot.be/2015/08/book-review-john-p-burgess-rigor-and.html

cito:

una prueba rigurosa es aquella que convence a su audiencia de que existe una prueba formalmente rigurosa proporcionando esos pasos en la prueba formalmente rigurosa de que no es simplemente rutinario proporcionar

Pero hay discusiones más interesantes en el artículo.

En teoría, una prueba matemática es una secuencia de declaraciones, donde cada declaración es un axioma o es el resultado de combinar una o más de las declaraciones anteriores usando reglas aceptadas. Y la última línea de la prueba se toma como una "declaración probada". No hay necesidad de "comprensión" aquí. Tal prueba puede comprobarse mecánicamente.

Desafortunadamente, esa es la teoría. En la práctica, una prueba creada de esta manera probablemente sería increíblemente grande. Por lo tanto, los matemáticos toman atajos. No usan una gran cadena de afirmaciones simples, pero pueden usar conclusiones con un mensaje no declarado a otros matemáticos diciendo de manera efectiva: "Sé que esto no es una prueba exacta, pero pueden confiar en mí, puedo proporcionar una prueba exacta". si quisiera, pero no quiero perder el tiempo, y no esperes que te aburras si tienes que leerlo". Y otros matemáticos leerán tal conclusión, lo pensarán y dirán: "Creo que tienes razón". Si suficientes matemáticos hacen esto, entonces se acepta la demostración.

Pero hay problemas: los otros matemáticos podrían no ser lo suficientemente inteligentes como para poder aceptar alguna conclusión en la demostración. (Descargué una copia de la prueba de Wiles del "Último teorema de Fermat", y no soy lo suficientemente inteligente para casi nada en esa prueba). Los otros matemáticos podrían decir: "Esta conclusión es un salto demasiado grande para ser aceptado. Debe dividirse en pasos más pequeños para que pueda verificar si son correctos". Y en el peor de los casos, los otros matemáticos podrían decir: "Creo que entiendo la conclusión, pero creo que está equivocada". Esto le sucedió a Wiles la primera vez y tuvo que arreglar algunas cosas en la primera versión de su famosa prueba.

Agregamos a esto que el autor de una prueba es obviamente parcial, por lo que no podemos tomar su palabra de que la prueba debe ser aceptada. Entonces, si solo el autor dice que puede entender la prueba y que es correcta, entonces la prueba no puede ser aceptada.

La pregunta original es muy interesante. Un examen más detallado revelará que la demostración matemática no implica un problema de detención.

En última instancia, una prueba matemática apela a un sentido: un sentido de las matemáticas, como dice Russell. El sentido de las matemáticas de algunas personas es muy fuerte, el de otras es moderado y otros no tienen nada en absoluto. La mayoría de esas personas a las que llamamos "sensibles" probablemente tengan este sentido de las matemáticas. El siguiente chiste puede ilustrar el punto:

A invitó a B, C, D y E a una cena, pero B no se presentó.

A dijo, "el que debería haber venido no vino".

C se levantó y se fue.

Entonces A dijo: "el que no debería haberse ido, se fue".

D se levantó y se fue.

Entonces E le dijo a A: "Ten cuidado con lo que dices. La gente podría ofenderse".

Entonces A dijo: "No estaba hablando de ellos".

E se levantó y se fue.

C, D y E son sensibles; A no lo es. Para C, D y E, existe un fuerte sentido que les permite "ver" cuando A dice esto, también quiere decir aquello. Por eso dice Bertrand Russell:

¿Qué se puede aprender por medio de la deducción? Tal vez si fueras lo suficientemente inteligente, no podrías aprender nada... Tan pronto como conoces la tabla de multiplicar, tienes los medios para multiplicar dos números cualesquiera, digamos 24657 y 35746. Aplicas las reglas y lo resuelves. Pero si fueras un chico calculador, "verías" las respuestas, tal como "ves" 2 y 2 son 4.

Russel, Bertrand. "El arte de hacer inferencias". El arte de filosofar. Nueva York: Biblioteca Filosófica, 1968. 42. Impreso.

Para demostrar que A implica G, la mayoría de la gente necesita pequeños pasos intermedios para "ver" la validez de esta implicación; un pequeño número de personas, por otro lado, puede "ver" directamente esta implicación de A a G. De ello se deduce que no hay ningún problema de detención involucrado.

No sé exactamente cuál es este sentido de las matemáticas, pero me gustaría saber si hay trabajos sobre este tema.

Is a proof valid if only one person understands it?

Si reemplazamos entender con "ver", es posible que una prueba entendida por una sola persona siga siendo válida: suponga que ve una declaración escrita en la camisa de uno de sus compañeros de clase, pero, tras su consulta, no hay nadie más en la sala. ve lo que ves. A medida que ingresa más gente, algunos reconocen que ven exactamente lo que usted ve, pero tampoco pueden convencer a aquellos que no ven ninguna declaración en la camiseta. Este tipo de cosas suceden, y casi todo el mundo ha tenido este tipo de experiencias.

Tomemos la prueba del "principio de reductio ad absurdum" por ejemplo: Partiendo del principio de identidad:

(1) (P v P) ⇒ P

Entonces, reemplazando P con ~P, tenemos

(2) (~P v ~P) ⇒ ~P

Entonces, por la definición de implicación material, tenemos

(3) (P ⇒ ~P) ⇒ ~P

De (1) a (2), no se invoca ningún principio superior, simplemente confiamos en nuestros sentidos. ¿Cómo podemos continuar si la gente niega que sustituir ~P por P en (1) da como resultado (2)? Obviamente no podemos reemplazar P con Sócrates porque Sócrates no tiene valor de verdad. Definitivamente hay reglas que rigen esta sustitución.

El mejor artículo que he visto sobre la prueba de Mochizuki es el de Ivan Fesenko en Inference . Aunque gran parte de esto está por encima de mi cabeza, vale la pena citar algunas de las conclusiones:

Los teóricos del modelo fueron los primeros en reaccionar a [su trabajo]. Algunos de los teoremas de reconstrucción pueden entenderse en términos de una interpretación lógica. El concepto de multirradialidad puede entenderse en términos de definibilidad .

Esto muestra, sorprendentemente, dados los orígenes teóricos de números del trabajo de Mochizuki, que el primer interés provino de los lógicos (lógicos matemáticos, que son diferentes de los lógicos en un sentido filosófico). Mientras que la multiradialidad es un concepto de Mochizuki, la definibilidad es tradicional en lógica. Esto muestra a las personas que intentan comprender sus nuevos conceptos al mapearlos con los que ya conocen.

¿Por qué categorías? Estas son preguntas planteadas en la geometría aritmética hace más de 40 años.

Las categorías son una invención matemática bastante reciente que surge de la topología algebraica. Se pensó expresamente que el primer artículo publicado sobre categorías para aclarar la axiomática en el tema sería el último. Sus detractores lo llamaron 'tontería abstracta'. (Esto es rico viniendo de un tema que todos consideran abstracto y cuyos principales practicantes persiguen lo abstracto).

Aquí Fesenko plantea la pregunta: ¿por qué las categorías son útiles en aritmética? Esto se debe a que la aritmética se puede interpretar geométricamente, pero para hacerlo se requieren categorías y

este fue un mensaje impartido por Grothendieck, pero el trabajo de Grothendieck realmente no ha aparecido como maná del cielo para todos los teóricos de los números. Privados del maná, son lentos para digerir [su obra]

Sucede.

Y sucedió por una razón. La maquinaria que rodea la obra de Grothendieck es inmensa, y esa es su principal dificultad. Por ejemplo, el proyecto de pilas ha escrito más de tres mil páginas simplemente para explicar completamente el trabajo de Grothendick. Esta es una cantidad formidable de trabajo. Seguramente se puede entender la renuencia de los teóricos de los números que son lo suficientemente felices como para pastar en pastos más cercanos a su tierra tradicional de teoría de números y masticar frutas más bajas que requieren menos esfuerzo.

Por lo tanto, el electorado natural de Mochizuki tiene mucho que hacer antes de que comiencen a digerir su propio trabajo y esto lleva tiempo.

Fesenko termina con un respaldo:

[El trabajo de Mochizuki] es diferente en su filosofía e ideas principales de todo lo que hemos conocido en la teoría de números convencional. Ya está cambiando las matemáticas, y a medida que más personas aprendan y desarrollen [su trabajo], esto continuará.

Por lo tanto, hay un compromiso largo, y porque es largo, lento con su trabajo.

Para responder a su pregunta principal, si un autor es la única persona que comprende su prueba, ¿es entonces una prueba? Bueno, si el autor tiene razón en su entendimiento, entonces es una prueba; pero esto no es suficiente, porque no nos ayuda a auditar la corrección de la prueba. No podemos entrar en su mente para entender cómo entendió la prueba. ¡Si pudiéramos, las pruebas serían mucho más fáciles de digerir! En cambio, todo lo que tenemos es el artefacto de prueba, el texto de la prueba. Bueno, no todos, ya que la comunidad matemática incorpora un cierto cuerpo de experiencia y uno puede hablar con el autor para ayudar a comprender las tácticas y estrategias de prueba. Así es como una prueba también se entiende socialmente construida.

Como ya se señaló, la mayoría de las demostraciones matemáticas no son completamente formales. Para una prueba completamente formal, podemos definir la corrección. Entonces podemos juzgar si una prueba informal es correcta por si se puede convertir en una prueba formal. La aceptación de otros matemáticos es una fuerte señal de si es correcta en este sentido, pero no es una señal infalible.

También hay otros problemas; si "pruebo" el resultado enunciando algún lema y luego afirmo que el lema es obvio y que el teorema se sigue obviamente, puedo estar en lo correcto tanto sobre el lema como sobre su implicación, pero aún puedo ser acusado razonablemente de no haber hecho el trabajo completo .

Finalmente, está la cuestión separada de la utilidad . Si mi prueba es correcta pero no he convencido a nadie más con ella, probablemente no haya sido de mucha utilidad. E incluso si generalmente se acepta que una prueba es correcta, una prueba más perspicaz a menudo sigue siendo útil.

¡Una "prueba", que alguien afirma que es válida , tiene que ser aceptada como válida, /a menos que/hasta que otra persona pueda refutarla ! Esto es especialmente cierto si la persona que hace la afirmación es muy conocida y se considera un "experto" en el tema.

No existe tal cosa como una prueba válida o inválida. Una prueba es una secuencia de símbolos en un lenguaje (matemático), que conecta premisas con conclusiones. Una secuencia puede o no contener errores. No hay forma de "asegurarse" de que una secuencia no contenga errores. Si la persona A prueba el teorema X, alguna persona B puede preguntar "¡Demuestra que tu prueba no contiene errores!". Si A proporciona una prueba de que su prueba de X no contiene errores, B también podría pedir que se pruebe que esta prueba de segundo orden no contiene errores y así sucesivamente, hasta el infinito.