¿Qué son las matemáticas? [duplicar]

Es práctica matemática:

  • un acto de descubrimiento de objetos eternos e ideas independientes de la existencia humana;
  • un juego sin intuición en el que los símbolos se manipulan de acuerdo con un conjunto fijo de reglas;
  • o un producto de construcciones de objetos intuitivos primitivos, más notablemente los números enteros?

Me gustaría que alguien me explicara qué escuelas de pensamiento hay detrás de estas definiciones, cuál es la relación entre ellas, si todas pueden ser igualmente válidas, si existe la definición más precisa entre ellas y todas las preguntas relacionadas...

Solo soy un laico interesado en la filosofía.

Para el primero, véase platonismo ; para el segundo ver formaísmo y para el tercero ver intuicionismo . En general, véase Filosofía de las Matemáticas .
Y también hay temas recientes más modernos: ver Naturalismo y Argumentos de Indispensabilidad .
Incluso los sistemas formales admiten la intuición: esa es la diferencia entre un novato y un experto en ajedrez, por ejemplo. Uno simplemente debe ser honesto acerca de dónde vienen las reglas y qué esperamos lograr al 'jugar'.
Es la materia entre la filosofía y la física.
Su pregunta es demasiado general y exigente en detalles para permitir que se dé una respuesta razonable aquí en menos de 400 páginas. Intente elegir una pregunta más específica y tal vez intente publicar varias preguntas. Concéntrese en una escuela de pensamiento o pregunte cómo se relaciona un tema específico con cada escuela de pensamiento diferente.
@NieldeBeaudrap Sí, pero los formalistas ven la intuición principalmente como la capacidad de calcular inconscientemente lo que uno podría calcular conscientemente o adivinar razonablemente. No significa lo mismo para el resto de nosotros. Para los platónicos e intuicionistas, confirmar, fundamentar o elaborar la intuición es el objetivo del ejercicio de las matemáticas. Es lo que le da sentido al sistema.
Las matemáticas son una forma de pensar. No hay necesidad de idealizarlo. Ningún hombre piensa en las matemáticas antes de la muerte. Todo hombre piensa antes de morir en el amor, en dios, en la revelación y en los sufrimientos. Piensa en ESO . Las matemáticas y las ciencias son una forma de aprendizaje recreativo de cómo pensar.
Solo para que conste, todos los objetos son eternos. Así que barrer el jardín mientras observas y piensas también es bastante divino. ¿Has probado?

Respuestas (2)

¡Esa es la pregunta de oro! Y, por el curso de las cosas, sin solución. La respuesta presupone un trasfondo filosófico que se basa prácticamente en la opinión. Un buen acercamiento a las escuelas es http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/ . También recomendaría el prefacio de la segunda edición de https://archive.org/details/principlesofmath005807mbp. Al elegir una escuela de pensamiento, no olvide considerar que toda teoría por su esencia es falaz; por ejemplo, la teoría de la concatenación tiene circularidades lógicas por su propia naturaleza, porque usamos la concatenación para abordar la teoría (una palabra en inglés es una concatenación, y necesitamos algunas palabras en inglés para explicar los conceptos fundamentales que pueden definir la concatenación). Lo mismo sucede con las matemáticas. Cuando los matemáticos tratan de definir el número 2 ya están usando este concepto, porque la "idea" de dos ya está presente en conceptos como relaciones diádicas o partículas inglesas con dos letras. Por lo tanto, debe centrarse en la teoría que tiene un uso más práctico y conciso. Tomemos el intuicionismo por ejemplo, aunque tiene algunos puntos de vista muy interesantes, no podría Ni siquiera construye un análisis clásico, por lo que no es muy útil. El logicismo de Russell, aunque acepta la noción de universales como relaciones y clases, derivó todas las matemáticas usando solo la lógica de las relaciones, por lo que vale la pena prestarle atención. Ojo con lo que dice la gente sobre el logicismo, tienden a ser exagerados, definió las matemáticas como lógica y la lógica como matemáticas, por lo que sus ideas no agradaban a los matemáticos a quienes les gustaba pensar en la lógica como una rama filosófica separada sin mucha utilidad.

Que tengas un lindo día.

El intuicionismo no dejó de construir el análisis clásico, aceptó una limitación al infinito que lo hizo contradecir el análisis clásico. Muchas de las estructuras que más preocupan al análisis clásico simplemente no existían en la construcción intuicionista, por lo que cosas como la continuidad carecen de significado. Dado que todos los resultados del análisis clásico descartados por el intuicionismo requieren cosas que uno no puede construir o no pueden considerarse útiles, esto no es un fracaso, es una posición ontológica.
@jobermark Por ejemplo, cualquiera que sea la construcción del intuicionismo, no es un análisis clásico.
Solo señalar que cuando se habla de principios fundacionales, el fracaso es relativo. ¿ ZF no se ocupa de la recopilación de todos los grupos? Entonces, ¿eso significa que la teoría de conjuntos tradicional 'ni siquiera puede' alcanzar los logros del intuicionismo en álgebra abstracta? Por supuesto que no.
@jobermark Lo sé, estoy de acuerdo contigo. Disculpe mi mala elección de palabras. Lo que quiero decir es que se necesita un análisis clásico, y el enfoque intuicionista no proporciona eso.
No, en realidad no, se necesita algo que coincida con la parte comprobable del análisis clásico. Y ambos enfoques proporcionan eso. Si deberían estar de acuerdo en el nivel más profundo y filosófico, que no puede llegar al punto de aplicación, es realmente discutible. Por ejemplo, los físicos usan la función 'delta', una función puntual continua, que 'realmente no existe' en el análisis clásico, pero sí en el intuicionismo. Entonces, ¿qué significa 'necesario'?
@jobermark No me gusta pensar de esa manera. El nivel más filosófico es la justificación de todo el corpus de conocimiento. Por supuesto, ZF y PM conducen a la aritmética cardinal, pero la aritmética de los números naturales tiene orígenes imposibles de rastrear, a diferencia de la mayoría de los conceptos de análisis que se basan en la filosofía. Me gusta pensar en el análisis como la lógica de las relaciones: si pasamos a la filosofía, cambiamos todo.
Está bien, pero te pierdes el sentido de tener una filosofía de las matemáticas, si cambiar la filosofía es algo tan peligroso que nunca podemos hacerlo. Para decirlo de manera más polémica de lo que realmente creo, solo para mayor claridad: ZF es un parche sobre el platonismo fallido detrás de PM, que lo convierte en un formalismo, en lugar de un tipo de pensamiento natural. Y, por lo tanto, no satisface intelectualmente a las personas que desean una verdadera filosofía de las matemáticas. Por ejemplo, si la física necesita una función delta, una formalista está haciendo trampa, nunca se sabe exactamente cuáles son los casos secundarios sin toneladas de trabajo que nadie hace.
Mire algo como "Pruebas y refutaciones" de Lakatos, que presenta un análogo simple o, peor aún, "Contra el método" de Feyerabend, que detalla ejemplos históricos, para ver cuán difícil es fijar la base de una mala teoría. Pero lo malo es malo, y las matemáticas en este momento están cerca de ser malas.

Yo diría que las matemáticas son la exploración sistemática de la idealización y la intuición humana. Los objetos estudiados son reales solo en un sentido idealizado, y las operaciones deben obedecer reglas idealizadas que se aproximan a la realidad en formas estrechas que minimizan la aceptación de datos externos.

Entonces, no diría que se trata particularmente de los números enteros, pero su última declaración se ajusta mejor a mi experiencia.

La primera situación es el platonismo real, la segunda es el formalismo. Estos dos enfoques dominan el campo en el sentido de que "su lógico promedio es un platónico los días de semana y un formalista los domingos".

La tercera posición se refleja más claramente en el proyecto del intuicionismo, que trató de resolver los problemas de la paradoja de Russel, etc., cuestionando la fuerza natural de la negación y considerando las matemáticas más como un esfuerzo psicológico conjunto que requiere la investigación de nuestra intuición compartida. más que un reflejo de construcciones externas o formales.

Desafortunadamente, cambiar el significado de las matemáticas requiere reconstruir lo que ya se conoce en otra forma, y ​​tales proyectos no capturan ampliamente la imaginación de los matemáticos en activo (aunque avanza mejor entre aquellos atraídos por otras disciplinas computacionales).

Wooa Wooa sistemática? No hay nada sistemático en CUALQUIER investigación y pensamiento. Sistemático sólo puede ser MÉTODO , la única herramienta de iluminación que nos ayuda a ver los hechos. Siempre hay hechos fuera de cualquier método y ahí es donde se necesita imaginación.
La noción de escribir pruebas y comunicarlas en ciertas notaciones es de hecho un sistema. Fuera de eso, es difícil ver las cosas como matemáticas. Yo diría (después de Kuhn) que es el intento de ser sistemático, de mantener funcionando un conjunto de paradigmas, lo que hace que cualquier investigación o pensamiento sea una ciencia. Entonces, en la medida en que las matemáticas intentan seguir siendo una ciencia, de hecho son sistemáticas.
La imaginación sigue siendo parte del sistema, registramos nuestras imaginaciones y las comparamos con otras.
Que lo que describiste no son matemáticas. es una sociedad El orden y la organización es una propiedad INNA de los objetos matemáticos. Eso no nos da derecho a equivocarnos de que las matemáticas son sistemáticas por sí mismas. Las matemáticas como creación y exploración no conocen ningún sistema, de lo contrario no habrá nada que descubrir.
Nuestras matemáticas son una empresa social, con envoltura sociológica. Ese envoltorio podría ser diferente, pero imaginar que puede desaparecer por completo es una tontería. Sistematizado como está, queda una cantidad inmensa por descubrir, así que no entiendo a qué te refieres.
@AsphirDom Su misma noción de que los objetos matemáticos tienen propiedades innatas (mucho menos decir lo que tienen que ser) prejuzga el problema y obliga a una interpretación platónica. Pero sabemos que tal interpretación conduce directamente a la paradoja de Russell. Entonces, ¿por qué forzar las cosas en una dirección que falla?
No entiendo por qué la paradoja de Russell debería socavar el platonismo. Las formas de ideas de Platón no son ** extensiones **, como lo son los conjuntos.
@NickR Pero los conjuntos son formas ideales. También lo es la noción de negación o error. Y también lo es la noción de completitud o extensión misma. Y si los pones todos juntos, uno de ellos tiene que ir. Además, supongo que debería haber dicho platonismo matemático, que asume que nuestras estructuras matemáticas existen en el mismo sentido que las ideas platónicas. Pero estoy bastante seguro de que Platón habría estado de acuerdo con eso.
No está del todo claro que las matemáticas humanas se parezcan a los ideales de Platón. En los últimos 50 años se ha hecho evidente que muchas de nuestras teorías son redundantes. Por ejemplo, la Teoría de Galois es sólo otra forma de formalizar la teoría de las funciones analíticas en el plano complejo. De manera similar, nuestra teoría de las curvas elípticas es solo otra articulación del análisis complejo. Todo esto está relacionado con algo llamado Programa Langlands. La paradoja de Russell nos dice que el concepto de colectivización no está bien definido, por lo que no forma parte de la visión de Platón. (continuado...)
(... continuación) Solía ​​pensar que el mundo ideal de Platón debe contenerse a sí mismo y, por lo tanto, era intrínsecamente inconsistente. Para ser justos, sigo pensando que es inconsistente, pero por otras razones. De manera similar, el resultado de incompletitud de Gödel no implica necesariamente que el mundo de Platón sea incompleto, ya que no es necesariamente una axiomatización. Me llamaría a mí mismo un platónico difuso.
(El contexto importa). Cualesquiera que sean las otras nociones del platonismo que pueda tener desde una postura más completamente filosófica, aquí estamos hablando de filosofías de las matemáticas. Entonces, la definición de "platonismo" a la que nos referimos es que las estructuras matemáticas tienen una realidad platónica. Una posición que los convierte en ideales reales fuera del proceso humano, de hecho, conduce directamente a la paradoja de Russel. Y esta es la fuerza detrás de lo que @AsphirDom afirmaba sobre su orden innato.
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