¿Qué es el "marco de referencia de una partícula" en la Relatividad General?

Question

¿Qué es el "marco de referencia de una partícula" en la Relatividad General?

Física
observadores
marcos de referencia
sistemas coordinados
relatividad general

Oro

En Relatividad Especial, cuando se habla de "el marco de referencia de una partícula" es bastante claro lo que significan.

En primer lugar: se comienza estableciendo coordenadas cartesianas en el espacio-tiempo plano. Esos deben pensarse como coordenadas relativas a un observador en reposo en el origen.

Luego, uno considera el movimiento de la partícula en relación con este primer observador que elegimos en función del sistema de coordenadas cartesianas. Esto da una ruta parametrizada $x^\mu(\tau)$ para la partícula.

El marco de la partícula entonces en realidad significa construir un conjunto de ejes cartesianos que se mueven con la partícula. De modo que cuando escribimos componentes $v^\mu$ en relación con el marco de la partícula, en realidad pretendemos calcular los componentes en relación con estos ejes en movimiento. En ese marco, la partícula está en reposo, por lo que su movimiento es trivialmente $(\tau,0,0,0)$ .

Eso está todo bien. Pero en GR las cosas son mucho más complicadas. El problema principal es: no tenemos ese sistema cartesiano global inicial relacionado con ese observador.

En realidad, todo lo que tenemos es: (i) la noción de gráficos, que no están necesariamente vinculados a ningún observador y (ii) la noción de observador como un par $(\gamma,e)$ ser $\gamma : \mathbb{R}\to M$ una línea temporal dirigida al futuro y $e_\mu$ un conjunto de cuatro campos vectoriales ortonormales a lo largo $\gamma$ tal que $e_0 = \gamma'$ .

Ahora, si queremos hablar sobre el marco de referencia de una partícula, ¿qué significaría eso? Estoy bastante perdido principalmente porque en SR la noción de observador era "global": tenemos un conjunto de ejes cartesianos que se extienden sobre todo el espacio-tiempo, que pueden registrar cualquier evento, en cualquier lugar y lo vinculamos a un solo observador.

En GR, un observador puede verse como una línea de mundo junto con ejes que se transportan a lo largo de ella. El observador es local, en el sentido de que (i) no le corresponde ningún sistema de coordenadas, mucho menos uno global, (ii) el observador solo puede asignar componentes a tensores que existen en eventos en su línea de tiempo.

Considerando todo esto: cuando hablamos de "el marco de referencia de una determinada partícula" en GR, ¿a qué nos referimos y cómo lo construimos de una manera matemáticamente precisa?

armamujjin

en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_space

Oro

Gracias por intentar ayudar a @MujjinGun, pero me temo que esto realmente no ayuda mucho aquí. Estoy hablando de la Relatividad General, donde el espacio-tiempo es una variedad lorentziana general de cuatro dimensiones.

(M, g)

$(M,g)$ , no el espacio de Minkowski.

WillO

en cualquier evento

E

$E$ en el espacio-tiempo, el espacio tangente

T_{E} M

$T_EM$ es un espacio vectorial, y un marco es una base ordenada para ese espacio vectorial.

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/12221/2451 y enlaces allí.

Respuestas (2)

¿Qué es el "marco de referencia de una partícula" en la Relatividad General?

Gracias por intentar ayudar a @MujjinGun, pero me temo que esto realmente no ayuda mucho aquí. Estoy hablando de la Relatividad General, donde el espacio-tiempo es una variedad lorentziana general de cuatro dimensiones. $(M,g)$ , no el espacio de Minkowski.
en cualquier evento $E$ en el espacio-tiempo, el espacio tangente $T_EM$ es un espacio vectorial, y un marco es una base ordenada para ese espacio vectorial.
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/12221/2451 y enlaces allí.

Profesor Legolasov · Answer 1

Creo que en GR solo puedes pasar al marco de referencia de la partícula localmente.

Es tan simple como esto: siempre tienes un conjunto local de marcos con métrica de Minkowski (por principio de equivalencia); simplemente elija uno con la coordenada de tiempo que marca el tiempo adecuado (infinitesimal) a lo largo de la línea del mundo.

Tienes toda la razón en que no existe un único marco de referencia global de la partícula.

N0va · Answer 2

Mi comprensión de un "marco de referencia" o tal vez más específico un marco de descanso en GR está estrechamente relacionado con el concepto del proyector ortogonal. Dejar $\Sigma$ ser una hipersuperficie similar al espacio o al tiempo de la variedad $\mathcal{M}$ y $\mathcal{T}_p(\mathcal{M})$ es el espacio tangente de $p\in\Sigma$ , entonces $\mathcal{T}_p(\mathcal{M})$ se puede descomponer ortogonalmente como

\begin{matrix} (1) & T_{pag} (METRO) = T_{pag} (Σ) \oplus V mi C t (norte), \end{matrix}

$\mathcal{T}_p(\mathcal{M})=\mathcal{T}_p(\Sigma)\oplus\mathrm{Vect}(\mathbf{n}), \tag{1}$ dónde

V e c t (n)

$\mathrm{Vect}(\mathbf{n})$ es el subespacio 1D de

T_{p} (M)

$\mathcal{T}_p(\mathcal{M})$ generado por el vector normal

n

$\mathbf{n}$ de

Σ

$\Sigma$ . La descomposición (1) tiene un proyector correspondiente

\vec{γ}

$\vec{\gamma}$

\begin{aligned} \vec{γ} : T_{pag} (METRO) & \to T_{pag} (Σ) \\ (2) & v & \mapsto v \pm (norte \cdot v) norte, \end{aligned}

$\begin{align}\vec{\gamma}: \mathcal{T}_p(\mathcal{M}) &\rightarrow \mathcal{T}_p(\Sigma)\\ \mathbf{v}&\mapsto \mathbf{v} \pm (\mathbf{n} \cdot \mathbf{v})\mathbf{n},\tag{2}\end{align}$ dónde

+

$+$ es para un tiempo

Σ

$\Sigma$ y - para un espacio

Σ

$\Sigma$ . (2) se puede expresar en la base de coordenadas

{e_{α}}

$\left\{\mathbf{e}_\alpha\right\}$ de

T_{p} (M)

$\mathcal{T}_p(\mathcal{M})$ como

\begin{matrix} (3) & γ_{β}^{α} = d_{β}^{α} \pm {norte}^{α} {norte}_{β} . \end{matrix}

$\gamma^\alpha_{~\beta}=\delta^\alpha_{~\beta} \pm n^\alpha n_\beta.\tag{3}$ El operador de proyección induce el tensor métrico en

Σ

$\Sigma$ :

γ_{α β}

$\gamma_{\alpha \beta}$ del cual podríamos extraer un sistema de coordenadas adaptado.

γ_{α β}

$\gamma_{\alpha \beta}$ en general no es plana.

Dichos proyectores se pueden utilizar para proyectar en marcos de reposo locales, observadores "eulerianos" de caída libre/no giratorios y similares.

Por ejemplo, consideremos un observador $\mathcal{O}$ una línea del mundo temporal $\mathcal{L}$ en $\mathcal{M}$ con el vector unitario dirigido al futuro $\mathbf{u}$

tu \cdot tu = - 1

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=-1$ tangente a

L

$\mathcal{L}$ .

u

$\mathbf{u}$ es la velocidad de cuatro del observador. el subespacio

Σ

$\Sigma$ dentro del cual

\vec{γ}

$\vec{\gamma}$ los proyectos pueden ser considerados como el espacio local de descanso del observador

O

$\mathcal{O}$ , ya que la velocidad desaparece en

Σ

$\Sigma$ :

\vec{γ} (u) = 0

$\vec{\gamma}(u)=0$ . el componente de

u

$\mathbf{u}$ normal a

Σ

$\Sigma$ no es necesariamente trivial.

Encontrar un marco de este tipo no requiere un marco específico (plano/euclidiano/...) para empezar, siempre que uno pueda encontrar/definir una línea de mundo que no sea similar a la luz. $\mathcal{L}$ se puede construir un proyector ortogonal $\vec{\gamma}$ y con él viene la noción de un espacio/marco de descanso local. El concepto y la definición son independientes de las coordenadas (ecuaciones (1) y (2)).

Estas serían algunas matemáticas relacionadas con los puntos ya hechos por OP. Adapté la notación de [Eric Gourgoulhon, 2007, 3+1 Formalism and Bases of Numerical Relativity] .

Gracias @MJSteil por la respuesta. Entonces, dado un observador con cuatro velocidades $u$ , la subvariedad $\Sigma$ tu defines seria lo de siempre $3$ -espacio dimensional visto por este observador? ¿Es esa la idea?

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armamujjin

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WillO

qmecanico

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Profesor Legolasov

N0va

Oro

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