Significado de los componentes del tensor de tensión de Maxwell TijTijT_{ij}

Question

Significado de los componentes del tensor de tensión de Maxwell TijTijT_{ij}

Física
electromagnetismo
deberes-y-ejercicios
tensión-energía-momentum-tensor

hombre del espacio

Estoy aprendiendo sobre el tensor de estrés de Maxwell y lo que entendí es que los componentes, dicen $T_{ij}$ es algo así como una fuerza paralela a la $j$ th-dirección que actúa sobre la superficie con su normal en la $i$ th-dirección.

Estaba trabajando en un problema que consiste en encontrar la fuerza neta en el hemisferio superior de una esfera sólida de radio uniformemente cargada $R$ y carga $Q$ .

Cálculo de la fuerza utilizando el tensor de tensión de Maxwell y los argumentos de simetría (ignorando $F_x$ y $F_y$ ), Obtuve

F = \int T_{z z} d a_{z} + T_{z X} d a_{X} + T_{z y} d a_{y}

$F = \int{T_{zz}da_{z} + T_{zx}da_{x} + T_{zy}da_{y}}$

Luego vino la confusión. Al calcular solo el $\int{T_{zz}da_{z}}$ parte, obtuve 0. Lo que significaba $F_z$ surge sólo de las fuerzas de corte $T_{zx}da_{x} + T_{zy}da_{y}$ . No puedo visualizar cómo esto es posible dada una $T_{zx}$ actuando junto $x$ -dirección dan lugar a una fuerza en la $z$ -dirección y lo mismo para $T_{zy}$ . ¿Qué entendí mal aquí?

Respuestas (1)

Significado de los componentes del tensor de tensión de Maxwell TijTijT_{ij}

usuario97261 · Answer 1

Para encontrar la fuerza total en el eje z, debe sumar sobre el vector z incrustado en la matriz del campo, que es el

La integral debe ser (para la fuerza neta en el eje z):

F_{z} = \sum_{i = 1, j = 3}^{i = 3} T_{i}^{j} \cdot \hat{norte} d S

$F_{z} = \sum_{i = 1, j = 3}^{i=3} T_{i}^{j} \cdot \hat{n}dS$

Con

T_{i j} = (\begin{array}{ccc} X X & y X & z X \\ X y & y y & z y \\ X z & y z & z z \end{array})

$T_{ij} = \left( \begin{array}{ccc} xx & yx & zx \\ xy & yy & zy \\ xz & yz & zz \end{array} \right)$

siendo n un vector normal unitario y dS algún elemento de área, en el caso de una esfera sería:

S = 4 π r^{2}

$S = 4 \pi r^{2}$

d S = 8 π r d r

$dS = 8 \pi r dr$

r = \sqrt{X^{2} + y^{2} + z^{2}}

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

$dS$ no es $8 \pi r \, dr$ en la superficie de la esfera de radio $r$ . Debería ser $dS = r^2 \, \sin{\vartheta} \, d\vartheta \, d\varphi$ en cambio.

Significado de los componentes del tensor de tensión de Maxwell TijTijT_{ij}

hombre del espacio

Respuestas (1)

usuario97261

Cham

Demuestre que ∂νTμν=−jνFμν∂νTμν=−jνFμν\partial_\nu T^{\mu\nu} = - j_\nu F^{\mu\nu}

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