Interpretación de un término en el tensor de tensión de Maxwell

cuando no hay$\vec B$campo, la densidad de fuerza$\vec f =\rho\vec E +\vec J \times \vec B$es igual$\epsilon_0\left( \vec \nabla \cdot \vec E \right)\vec E.$

Y si tampoco hay$\vec B$campo en un intervalo de tiempo entonces$\vec \nabla \times \vec E=\vec 0.$Esta última parte es importante, porque la tasa de cambio de tiempo de$\vec B$es esencial. Pero cuando$\vec \nabla \times \vec E$es cero, obtenemos que$\epsilon_0\vec E \times \left(\vec \nabla \times \vec E \right)=\vec 0$y luego$\epsilon_0\left( \vec \nabla \cdot \vec E \right)\vec E$=$\epsilon_0\left( \vec \nabla \cdot \vec E \right)\vec E-\epsilon_0\vec E \times \left(\vec \nabla \times \vec E \right).$

que es igual$\epsilon_0\vec \nabla \cdot \left( \vec E \otimes \vec E -(E^2/2)\mathbb{1}\right).$

En resumen, el tensor de energía de tensión es algo cuya divergencia necesita dar el cambio en la densidad de momento. El componente xx es solo uno de los tres términos de los que una divergencia necesita derivar para dar la densidad de fuerza. Centrarse en un componente no tiene sentido.

Cuando tengas$\vec \nabla \cdot \vec J =-\partial \rho / \partial t$usted sabe que los tres componentes de$\vec J$se necesitan para conseguir$\rho$similarmente$T_{xx}, T_{yx}$y$T_{zx}$son todos necesarios para conseguir$f_x.$No hay razón para centrarse en el$T_{xx}$aisladamente porque si$\mathscr P_x$es la densidad de x impulso entonces$\partial_x T_{xx}+\partial_y T_{yx}+\partial_z T_{zx}=\partial_t\mathscr P_x.$

Tal como$\vec J$mide el flujo de carga, también lo hace$T_{xx}\hat x+T_{yx}\hat y+T_{zx}\hat z$medir el flujo de$\mathscr P_x.$

Usted pidió una forma de verlo físicamente. Así que ten en cuenta que$T_{xx}$mide el flujo de$\mathscr P_x$en la dirección x. Reclamarlo no depende de$E_y$o$E_z$es una afirmación bastante descabellada (e incorrecta). Todo lo que sabemos realmente sobre la tensión del campo electromagnético es que su divergencia es la tasa de cambio en el tiempo de la densidad del momento. Cuando no hay campo magnético en un intervalo de tiempo, el único momento es el momento mecánico, por lo que necesitamos que la divergencia sea la densidad de fuerza. Pero la densidad de fuerza incluye la densidad de carga que depende de la divergencia de$\vec E$por lo que depende de los tres componentes de$\vec E.$Así que esperamos plenamente que los tres componentes de$\vec E$importar.

Entonces queremos que la divergencia sea la densidad de fuerza. La divergencia dará partes iguales$\epsilon_0\left( \vec \nabla \cdot \vec E \right)\vec E$porque siempre lo hace. Y dará partes que resultan ser cero, simplemente porque la curvatura del campo eléctrico tiene que ser cero porque insististe en considerar un caso sin campo magnético.

Así que considera$T_{xx}=(E_{xx}^2-E_{yy}^2-E_{zz}^2)/2$así como$T_{yx}=E_yE_x$y$T_{yx}=E_zE_x$entonces la divergencia da un término como$\rho E_x$pero también da términos como$-E_y\partial_xE_y$y$-E_z\partial_xE_z$(desde el$T_{xx}$término) y términos como$E_y\partial_yE_x$y$E_z\partial_zE_x$(de$T_{yx}$y$T_{zx}$). Así que necesitábamos los términos en$T_{yx}$y$T_{zx}$para obtener la densidad de carga completa (ya que solo esos términos obtienen parciales en y y z), pero luego necesitamos términos adicionales en$T_{xx}$para contrarrestar los términos que aparecían. En nuestro ejemplo no es que el rizo de$\vec E$ser cero hace que se cancelen exactamente.

Entonces, dado que cada término$T_{xx},$ $T_{yx},$y$T_{zx}$tiene un significado físico (el flujo de$\mathscr P_x$en las direcciones x, y y z respectivamente), el significado físico es exactamente ese. Tenemos que tener algún flujo de$\mathscr P_x$en la dirección x para compensar el flujo de$\mathscr P_x$en las direcciones y y z para que el flujo neto sea exactamente la transferencia al momento mecánico.