Conductor hueco que contiene carga: ¿por qué el campo interno se cancela afuera y por qué el campo fuera de la cavidad es cero dentro de la cavidad?

Question

Conductor hueco que contiene carga: ¿por qué el campo interno se cancela afuera y por qué el campo fuera de la cavidad es cero dentro de la cavidad?

Sørën

Tengo una duda sobre la siguiente situación. Considere un conductor hueco $A$ (de forma arbitraria) que contiene otro conductor $B$ (de nuevo de forma arbitraria), con carga positiva $+q$ .

Por la inducción electrostática una carga total $-q$ aparecerá en la superficie interna de $A$ (vamos a llamarlo $S_{A, int}$ ) con una densidad $\sigma_{A,int}$ , y un cargo total $+q$ aparecerá en la superficie exterior $S_{A,ext}$ con una densidad $\sigma_{A,ext}$ .

Llamemos a los campos electrostáticos generados por las densidades de carga $\sigma_{B}$ , $\sigma_{A,int}$ y $\sigma_{A,ext}$ respectivamente $\bf{E}_{B}$ , $\bf{E}_{\sigma_{A,int}}$ y $\bf{E}_{\sigma_{A,ext}}$ .

Mi pregunta es: ¿cómo probar (posiblemente de manera rigurosa) los dos hechos siguientes?

$\bf{E}_{\sigma_{A,int}}$ es tal que
${mi}_{B} + {mi}_{σ_{A, i norte t}} = 0$ $\bf{E}_{B}+\bf{E}_{\sigma_{A,int}}=0$ en todas partes fuera de la cavidad (por lo tanto también fuera del conductor $A$ ).
Ambos $\bf{E}_{\sigma_{A,int}}$ y $\bf{E}_{\sigma_{A,ext}}$ son cero en todas partes dentro de la cavidad.

Intentos:

Griffiths-Introduction to Electrodyinamics propone una situación similar en el Capítulo 2.5 (Ejemplo 2.9) y afirma que $\sigma_{A,int}$ es tal que "su campo anula el de $B$ , para todo punto exterior a la cavidad".

Explica la declaración diciendo "No puedo darle una explicación satisfactoria en este momento", sin embargo, no encontré una explicación adecuada de este hecho en todo el libro.

De todos modos, trata de justificar el hecho diciendo: "Porque esa misma cavidad podría haber sido curvada a partir de un enorme conductor esférico con un radio de 27 años luz o lo que sea. En ese caso, la densidad $\sigma_{A,ext}$ simplemente está demasiado lejos para producir un campo significativo y los otros dos campos ( $\bf{E}_{B}$ y $\bf{E}_{\sigma_{A,int}}$ ) tendrían que realizar la cancelación por sí mismos".

Esto tiene sentido para mí, pero estoy buscando una explicación más rigurosa (o al menos dónde puedo encontrar una).
Supongo que, por la conservatividad de los campos electrostáticos:
$\begin{matrix} (*) & \oint_{γ} {mi}_{σ_{A, i norte t}} \cdot d s = \int_{γ_{1}} {mi}_{σ_{A, i norte t}} \cdot d s + \int_{γ_{2}} {mi}_{σ_{A, i norte t}} \cdot d s = 0 \forall γ_{1}, γ_{2} \end{matrix}$ $\oint_{\gamma} \bf{E}_{\sigma_{A,int}} \cdot \bf{ds}=\int_{\gamma_1}\bf{E}_{\sigma_{A,int}}\cdot \bf{ds}+\int_{\gamma_2}\bf{E}_{\sigma_{A,int}}\cdot \bf{ds}=0\,\,\,\, \forall \gamma_1,\gamma_2\tag{*}$

Dónde $\gamma_1$ es cualquier curva como la roja en la imagen (conectando dos puntos en la cavidad $C$ y $D$ pasando a través de la cavidad) y $\gamma_2$ es cualquier curva como la verde en la imagen (por lo tanto, pasa dentro del conductor). Desde $\gamma_2$ pasa en el conductor, seguramente
$\int_{γ_{2}} {mi}_{σ_{A, i norte t}} \cdot d s = 0 \forall γ_{2}$ $\int_{\gamma_2}\bf{E}_{\sigma_{A,int}}\cdot \bf{ds}=0\,\,\,\,\,\forall \gamma_2$

Por lo tanto, desde $(*)$

\int_{γ_{1}} {mi}_{σ_{A, i norte t}} \cdot d s = 0 \forall γ_{1}

$\int_{\gamma_1}\bf{E}_{\sigma_{A,int}}\cdot \bf{ds}=0 \,\,\,\,\forall \gamma_1$

Sin embargo, no estoy totalmente seguro de la siguiente implicación

\int_{γ_{1}} {mi}_{σ_{A, i norte t}} \cdot d s = 0 \forall γ_{1} ⟹ {mi}_{σ_{A, i norte t}} = 0 i norte s i d mi t h mi C a v i t y

$\int_{\gamma_1}\bf{E}_{\sigma_{A,int}}\cdot \bf{ds}=0 \,\,\,\,\forall \gamma_1\implies \bf{E}_{\sigma_{A,int}}=0 \,\,\,\,\, \mathrm{inside} \,\,\, \mathrm{the} \,\,\, \mathrm{cavity}$

¿Puedo llegar a esta conclusión con este razonamiento? (El mismo razonamiento llevaría a la conclusión de que también $\bf{E}_{\sigma_{A,ext}}=0$ dentro de la cavidad).

JMLCarter

¿Por qué este no es un problema estándar de la jaula de Farady que todo el mundo conoce bien? (¿Ha aplicado correctamente la cita al problema correcto? O la prueba integral de la ruta circular estaba demasiado bien escondida en el libro)

Aritro Pathak

arxiv.org/abs/1609.04248, este es un artículo publicado en el European Journal of Physics, donde traté de explicar dos pruebas diferentes a esto.

Respuestas (5)

Conductor hueco que contiene carga: ¿por qué el campo interno se cancela afuera y por qué el campo fuera de la cavidad es cero dentro de la cavidad?

¿Por qué este no es un problema estándar de la jaula de Farady que todo el mundo conoce bien? (¿Ha aplicado correctamente la cita al problema correcto? O la prueba integral de la ruta circular estaba demasiado bien escondida en el libro)
arxiv.org/abs/1609.04248, este es un artículo publicado en el European Journal of Physics, donde traté de explicar dos pruebas diferentes a esto.

tenedor40 · Answer 1

Parafraseando el "Segundo Teorema de Unicidad" de Griffith (sección 3.1.6, 4ª ed.):

El campo eléctrico en un volumen limitado por conductores se determina de forma única si se da la carga total de cada conductor.

(1) Dado que la carga solo se coloca en B, esto indica que el campo en la cavidad se resuelve únicamente por la forma de la cavidad y $Q$ . En otras palabras, la superficie exterior no puede contribuir a la cavidad: $\vec{E}_{A,ext}=0$ . Sin embargo, por el mismo razonamiento creo que es incorrecto decir $\vec{E}_{A,int}=0$ en la cavidad porque la superficie interna (y por lo tanto $\sigma_{A,int}$ ) debe contribuir a resolver de manera única el campo.

(2) La superficie exterior tendrá $Q$ distribuidos en él independientemente de la forma de la cavidad. Entonces, aunque el conductor externo técnicamente no tiene carga, solo piense en el volumen fuera de A como limitado por el exterior de A (con $Q$ en él) e infinito. Luego aplique el mismo teorema de unicidad para mostrar la irrelevancia de la cavidad (en otras palabras, $\vec{E}_{A,int}+\vec{E}_B=0$ afuera).

Abordar sus intentos:

(1) La explicación rigurosa radica en los teoremas de unicidad presentados en el Capítulo 3 y sus demostraciones asociadas.

(2) El paso final es incorrecto: una integral que se desvanece no implica un integrando que se desvanece en general. Además, esa no es una conclusión a la que quieras llegar. De lo contrario, es un buen razonamiento, y muy en el espíritu de $\Phi$ como un campo conservativo (reemplazando $\vec{E}$ con $-\nabla \Phi$ hace que las integrales sean muy fáciles de calcular moviéndose entre las superficies de un solo conductor).

usuario130529 · Answer 2

Dejar $V$ Sea el potencial total que es cero en $\infty$ . Sabemos que V es constante en ambos conductores. Dejar $V_B$ Sea su valor dentro de B y $V_A$ su valor dentro de A. Eso es todo lo que necesitamos para reconstruir el potencial y responder la pregunta en detalle.

Dejar $V_1$ ser el potencial tal que

\begin{aligned} V_{1} = V_{B} - V_{A} dentro de B, \\ V_{1} = 0 dentro de A y en el exterior fuera de A, \\ \nabla^{2} V_{1} = 0 en el espacio libre entre A y B. \end{aligned}

$\begin{align} &V_1 = V_B-V_A \quad \text{inside B,}\\ &V_1 = 0 \quad \text{inside A and on the exterior outside of A,}\\ &\nabla^2 V_1 = 0 \quad \text{in the free space between A and B.} \end{align}$ Dejar

V_{2}

$V_2$ ser el potencial tal que

\begin{aligned} V_{2} = V_{A} dentro de B y dentro de A, así como en el espacio libre entre A y B, \\ \nabla^{2} V_{2} = 0 en el exterior fuera de A, \\ V_{2} = 0 en \infty . \end{aligned}

$\begin{align} &V_2 = V_A \quad \text{inside B and inside A as well as in the free space between A and B,}\\ &\nabla^2 V_2 = 0 \quad \text{on the exterior outside of A,}\\ &V_2 = 0 \quad \text{at} \quad \infty . \end{align}$

Por construcción tenemos

V = V_{1} + V_{2} .

$V = V_1+V_2.$

Dejar $\bf{E}$ Sea el campo electrostático total definido en la pregunta:

mi = {mi}_{B} + {mi}_{σ_{A, i norte t}} + {mi}_{σ_{A, mi X t}} .

${\bf{E} = \bf{E}_{B} + \bf{E}_{\sigma_{A,int}} + \bf{E}_{\sigma_{A,ext}}}.$ Tenemos

mi = - \nabla V .

${\bf{E}} = -\nabla V.$

Necesitamos ahora identificar cada componente.

Por construcción, los cargos asociados a $V_1$ están ubicados en la superficie de B y la superficie interna de A, y las cargas asociadas a $V_2$ están ubicados en la superficie exterior de A. Por lo tanto

\begin{aligned} {mi}_{B} + {mi}_{σ_{A, i norte t}} = - \nabla V_{1}, \\ {mi}_{σ_{A, mi X t}} = - \nabla V_{2} . \end{aligned}

$\begin{align} &{\bf{E}_{B} + \bf{E}_{\sigma_{A,int}}} = -\nabla V_1,\\ &{\bf{E}_{\sigma_{A,ext}}} = -\nabla V_2. \end{align}$

Por la definición de $V_1$ , la primera ecuación prueba el punto 1 de la pregunta:

{mi}_{B} + {mi}_{σ_{A, i norte t}} = - \nabla 0 = 0 dentro de A y en el exterior fuera de A.

${\bf{E}_{B} + \bf{E}_{\sigma_{A,int}}} = -\nabla 0 = 0\quad \text{inside A and on the exterior outside of A.}$

Por la definición de $V_2$ , la segunda ecuación prueba la mitad del punto 2 de la pregunta:

{mi}_{σ_{A, mi X t}} = - \nabla V_{A} = 0 dentro de B y A, así como en el espacio libre entre A y B .

${\bf{E}_{\sigma_{A,ext}}} = -\nabla V_A = 0 \quad \text{inside B and A as well as in the free space between A and B}.$

Finalmente, en cuanto a ${\bf{E}_{\sigma_{A,int}}}$ , no será cero en todas partes dentro de la cavidad, excepto en el caso especial en el que las cargas asociadas generan un potencial constante dentro de esa cavidad (por ejemplo, en el caso de una simetría esférica).

JMLCarter · Answer 3

¿Por qué este no es un problema estándar de la jaula de Farady que todo el mundo conoce bien?

(¿Ha aplicado correctamente la cita al problema correcto? O la prueba integral de la ruta circular estaba demasiado bien escondida en el libro)

Para razonar, considere un anillo de carga perfectamente circular simétrico. Tu conductor permite que las cargas se muevan, por lo que se distribuirán uniformemente en tu conductor irregular, coincidiendo con este arreglo.

Para cada punto dentro del conductor, la fuerza debida a los puntos más cercanos del anillo será compensada exactamente por la fuerza de los más alejados (aunque la fuerza es más débil, hay más de ellos), lo que hace que no haya fuerza neta sobre una carga en ese punto. (Se ha hecho una prueba integral matemática, pero eso no es lo que pediste).

Lesnik · Answer 4

Vale, tenemos el conductor A, el conductor B, hemos cargado el conductor B y ahora divagamos cuál es la distribución de cargas en nuestro sistema.

Tratemos de adivinar. Tomemos un conductor como A, pero sin cavidad. vamos a cargarlo con carga total $q$ . Esta carga se distribuiría sobre la superficie del conductor. La distribución sería tal que el campo eléctrico total en cualquier lugar dentro del conductor es cero: no hay más corriente eléctrica. Recordemos cómo se distribuye la carga: $\sigma_{A, ext}$ .

Ahora tomemos un conductor infinito con una cavidad y otro conductor B cargado dentro de la cavidad. Las cargas se distribuirían en la superficie interna de la cavidad de manera que el campo eléctrico en cualquier lugar fuera de la cavidad sea cero. Recordemos cómo se distribuyen ahora los cargos: $\sigma_{A, int}$ y $\sigma_{B}$ .

Ahora vuelve al problema original. Distribuyamos manualmente los cargos exactamente como se distribuyeron: $\sigma_{A, int}, \sigma_{A, ext}, \sigma{B}$ . ¡Y ahora déjalos libres! ¿Qué pasaría?

En realidad nada. Las cargas distribuidas sobre B y la superficie interna estaban en equilibrio, traemos algunas cargas distribuidas sobre la superficie externa, pero estas cargas externas están distribuidas de tal manera que no producen ningún campo eléctrico en el área de la superficie interna. Y las cargas internas no afectan las cargas en la superficie exterior. Todavía tenemos un equilibrio.

Entonces, ¡tenemos una solución a nuestro problema! Ahora sabemos que existe una solución tal que las cargas "internas" no produzcan ningún campo eléctrico en ninguna parte fuera de la cavidad. (Ítem 1. de su pregunta). Esta distribución de equilibrio es tal que $\sigma_{A, ext}$ no producen campo dentro de la cavidad. Tenga en cuenta que $\sigma_{A, int}$ produce algún campo eléctrico dentro de la cavidad, por lo que su pregunta es incorrecta.

¿Puede ser que la distribución real sea diferente de lo que hemos construido? No, no hay otras soluciones.

Supongamos que hay alguna otra distribución. Cambiemos el signo de todas las cargas y combinemos ambas imágenes. Obtendríamos una nueva distribución, todavía de equilibrio, las cargas totales de todos los conductores serían cero, pero aún así la distribución no lo es: habría algunas áreas cargadas positiva y negativamente. Eso significa que hay algún campo eléctrico en nuestro sistema. El campo eléctrico tiene energía potencial. La posición no puede estar en equilibrio porque las cargas pueden redistribuirse, eliminar todo el campo eléctrico y la energía potencial disminuiría.

La prueba no es extremadamente rigurosa, lo sé :)

Aritro Pathak · Answer 5

Esta es una pregunta que vale la pena hacer, y la respuesta no es trivial o totalmente inmediata.

No está claro por qué generalmente no se hace un esfuerzo para abordar esta pregunta correctamente: di dos argumentos completos de por qué el campo combinado debido a cargas 'fijas' e inducidas en cualquier 'dominio' del espacio no penetra en otro dominio, donde dos dominios están completamente separados entre sí por material conductor (y, por lo tanto, hay exactamente un dominio que se extiende hasta el infinito y todos los demás dominios tienen un volumen finito). No es un argumento difícil, a partir de cualquiera de los dos teoremas estándar de existencia y unicidad electrostática.

¡Lo más importante para llegar a un consenso es si hay una necesidad de argumentos lógicamente completos en primer lugar!

https://arxiv.org/abs/1609.04248

Conductor hueco que contiene carga: ¿por qué el campo interno se cancela afuera y por qué el campo fuera de la cavidad es cero dentro de la cavidad?

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