Significado de las ecuaciones vectoriales

Sí$x,y$son escalares. Sí, los vectores de columna son los mismos que mencionaste. Esta notación es clásica en álgebra lineal porque puedes continuar y escribir lo anterior como

$$\begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 6 \end{bmatrix}$$ donde ahora todo lo que tienes que hacer es "invertir" la matriz para obtener$x,y$.

El hecho es que cualquier sistema lineal en forma cartesiana también puede expresarse en forma matricial$Au=b$y el producto$Au$también se puede ver como la combinación lineal de las columnas de la matriz$A$por las componentes del vector$u$.

$$\overbrace{\boxed{\left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x+a_{12}y &=& b_1\\ a_{21}x+a_{22}y &=& b_2\\ \end{array} \right.}}^{\text{cartesian form}} \,\equiv\, \overbrace{\boxed{\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}}}^{\text{matrix form}} \,\equiv\, \overbrace{\boxed{x\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}}}^{\text{vector form}}$$

En algunos casos, esta interpretación (es decir, la solución como una combinación de vectores columna de matriz) puede ser muy útil. En este caso particular parece poco esclarecedor encontrar la solución.

Como referencia sugiero echar un vistazo a la primera lección del famoso curso de Álgebra Lineal del Prof. Gilbert Strang.

Estoy de acuerdo con las otras respuestas en que la forma matricial es la forma más estándar de ver el sistema de ecuaciones lineales.

Pero la forma vectorial de ver las cosas se puede considerar como un diagrama bidimensional, ya que estamos tratando con vectores bidimensionales.

Claramente$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$y$\begin{bmatrix} -4 \\ 3 \end{bmatrix}$son linealmente independientes , ya que uno no es múltiplo escalar del otro.

Por lo tanto, la ecuación:

$$x\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} -4 \\ 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 \\ 6 \end{bmatrix}$$

puede pensarse como, "¿Qué combinación lineal única de los$2-$Vectores de d$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$y$\begin{bmatrix} -4 \\ 3 \end{bmatrix}$es igual a$\begin{bmatrix} 8 \\ 6 \end{bmatrix},$y personalmente encuentro esta singularidad como "interesante" o "agradable", supongo.