Mutuo o el mismo conjunto de funciones propias si dos operadores hermitianos conmutan

Suposiciones: Hablaré solo de operadores hermitianos (más generalmente autoadjuntos). Esto significa que supondré que los operadores en cuestión tienen un conjunto de vectores propios que abarcan el espacio de Hilbert. Como se mencionó tomaszen un comentario, esto no es exactamente necesario, ya que se pueden hacer declaraciones más generales, pero dado que estamos tratando con QM básico, creo que esta simplificación es razonable.

Preguntas 1 y 2

El enunciado es que si dos operadores conmutan, entonces existe una base para el espacio que es simultáneamente una base propia para ambos operadores. Sin embargo, si (por ejemplo) uno de los operadores tiene dos vectores propios con el mismo valor propio, cualquier combinación lineal de esos dos vectores propios también es un vector propio de ese operador, pero esa combinación lineal podría no ser un vector propio del segundo operador .

Caso en cuestión: consideramos los estados$|l,m\rangle = |1,1\rangle$y$|l,m\rangle = |1,-1\rangle$. Ambos son vectores propios de$\hat{L}^2$y$\hat{L}_z$. Los valores propios de$\hat{L}_z$son$\hbar$y$-\hbar$, respectivamente, pero el estado

$$|1,1\rangle + |1,-1\rangle$$ claramente no es un vector propio de $\hat{L}_z$, pero sigue siendo un vector propio de $\hat{L}^2$. Esta es probablemente la razón por la que usamos el término "mutuo" en lugar de "igual". Finalmente, formamos combinaciones lineales de los $|1,m\rangle$estados para obtener el $l=1$estados que son vectores propios de, digamos, $\hat{L}_y$.

Como un ejemplo directo, considere las siguientes dos matrices:

$$L = \left[ {\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}} \right]$$ y $$Z = \left[ {\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}} \right].$$ los vectores $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, y $(0,0,1)$son vectores propios de ambos operadores. Los dos últimos son vectores propios de $L$con el mismo valor propio (a saber $1$), pero son vectores propios de $Z$con diferentes valores propios (a saber, $1$y $-1$). Si en su lugar usamos los vectores $(0,1,1)$y $(0,1,-1)$, estos siguen siendo vectores propios de $L$con valor propio $1$, pero ya no son vectores propios de $Z$, como puedes comprobar.

Pregunta 3

Como señaló inteligentemente Chris Whiteen un comentario, el operador de identidad conmuta con todos los demás operadores y, sin embargo, hay operadores que no conmutan entre sí. Este es el más simple de los contraejemplos a su intuición. La conmutatividad no es una propiedad transitiva.

No sé si tu intuición sobre el problema era matemática o física. Si fue físico, entonces es algo a lo que tienes que acostumbrarte, porque es parte de la naturaleza que las cosas funcionen de esta manera. Si es matemático, entonces tal vez el contraejemplo proporcionado anteriormente ayude.

Como ejemplo sencillo, agregue a las matrices anteriores la matriz

$$X = \left[ {\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}} \right]$$ Este operador conmuta con $L$pero no $Z$.

Pregunta 4

Ciertamente, está bien que dos operadores que no viajan al trabajo compartan un vector propio. De hecho,$\hat{L}_x$,$\hat{L}_y$, y$\hat{L}_z$todos comparten un vector propio: el estado$|l,m\rangle = |0, 0\rangle$.

Como un ejemplo más trivial de operadores que comparten un vector propio que no conmuta, considere los dos siguientes:

$$A = \left[ {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}} \right]$$ y $$B = \left[ {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}} \right]$$ Claramente comparten el vector propio $(1,0,0)$, pero los bloques inferiores de las matrices A y B son respectivamente el Pauli- $z$y pauli- $x$matrices que no conmutan.

1. Usualmente decimos que si dos operadores,$\hat{A}$y$\hat{B}$conmutan, entonces tienen un conjunto simultáneo de estados propios. Decir que los estados propios son los mismos no es realmente correcto.

Por ejemplo, permita que el operador$\hat{A}$ser ermitaño y actuar sobre elementos del Espacio Hilbert$\mathcal{H}_A$y deja que el operador$\hat{B}$también ser ermitaño y actuar sobre elementos del Espacio Hilbert$\mathcal{H}_B$y deja$\mathcal{H}_A \ncong \mathcal{H}_B$de modo que los dos espacios sean claramente distintos.

Por el teorema espectral,$\hat{A}$tiene un conjunto de vectores propios$\lvert \psi_{a_n} \rangle$con valores propios reales$a_n$que forman una base para$\mathcal{H}_A$y de manera similar para$\hat{B}$,$\lvert \phi_{b_n} \rangle$,$b_n$y$\mathcal{H}_B$. Entonces, cualquier estado de la forma$\lvert \psi_{a_n} \rangle \times \lvert \phi_{b_n} \rangle$es un vector propio simultáneo de ambos$\hat{A}$y$\hat{B}$; sin embargo, los conjuntos de estados$\lvert \psi_{a_n} \rangle$y$\lvert \phi_{b_n} \rangle$ciertamente no son lo mismo ; ¡ni siquiera son elementos del mismo espacio!

2. Recuerde que en el sistema de coordenadas esféricas del físico,$\theta \in [0, \pi]$es el ángulo acimutal medido desde el$+ \hat{z}$eje y$\phi \in [0, 2\pi]$el ángulo polar. Entonces, los armónicos esféricos que ves en Wikipedia han elegido implícitamente un eje particular para llamarlo$\hat{z}$.

Como usted señala, qué eje llamamos cuál es arbitrario. Entonces, las funciones propias simultáneas de$\hat{L}^2$y$L_x$o$L_y$se puede escribir es la misma forma que los armónicos esféricos, excepto que ahora dejemos$\theta \to \theta_x$o$\theta \to \theta_y$Sea un ángulo acimutal que mida los ángulos con respecto al$x$o$y$eje y luego dejar$\phi \to \phi_x$o$\phi_y$Sea el ángulo polar correspondiente. Esencialmente, lo que estamos haciendo aquí es mezclar qué etiqueta ponemos en qué eje.

Lo que tenemos son tres representaciones diferentes del mismo conjunto de funciones propias de$\hat{L}^2$. Debido a que estas son representaciones equivalentes, ciertamente podemos escribir las funciones propias simultáneas de$\hat{L}^2$y$\hat{L}_x$como una combinación lineal de las funciones propias de$\hat{L}^2$y$\hat{L}_z$, que les dejo como un ejercicio que vale la pena.

3. Con suerte, el comentario de Chris White deja en claro que no siempre debemos confiar en nuestra intuición. Si la conmutatividad fuera transitiva, como usted sugiere, ¡nos veríamos obligados a concluir que todos los operadores conmutan!

4. Los operadores ciertamente pueden compartir algunas funciones propias simultáneas, incluso si no se desplazan. Por ejemplo,$Y_0^0$no contiene ninguno$\theta$o$\phi$en sus representaciones habituales, por lo que es el mismo independientemente de cómo etiquete los ejes.$Y_0^0$es entonces una función propia de todos$\hat{L}^2$,$\hat{L}_x$,$\hat{L}_y$, y$\hat{L}_z$.

Si los operadores que no conmutan comparten algunas o ninguna función propia depende exactamente de cuál sea su conmutador.