¿Existe una expresión simple para [x,eixp][x,eixp][x,e^{ixp}]?

Estoy seguro de que esto existe en alguna parte, pero sorprendentemente no es tan fácil de buscar en Google.* Los conmutadores

[ X , mi i ( a X 2 + b ( X pag + pag X ) + C pag 2 ) ]
de posición y el exponencial de una función cuadrática de posición y momento son definitivamente conocidos, sobre todo porque la teoría de los estados gaussianos los trata todo el tiempo en forma de funciones cuadráticas de cuadraturas de campo.

Estoy particularmente interesado en funciones del tipo específico

[ X i , mi i X j A j k pag k ] ,
donde se que A j j = 0 por lo que no hay problemas de hermiticidad (resumen de Einstein en ambos). ¿Alguien tiene una referencia a mano?

* De ahí, para la posteridad, esta pregunta. Cualquier sugerencia sobre cómo hacer que esto sea más fácil de buscar es bienvenida.

¿No funcionaría la expansión Taylor de fuerza bruta? Después de todo, el método es siempre reducir a algún tipo de [ A , B C ] y luego muévete B y C a la izquierda y a la derecha, respectivamente, agrupando todo eventualmente.

Respuestas (1)

Probemos la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff en la forma

mi X Y mi − X = Y + [ X , Y ] + 1 2 ! [ X , [ X , Y ] ] + 1 3 ! [ X , [ X , [ X , Y ] ] ] + . . .
Llevar X = i X j A j k pag k y Y = X i . No es el caso más simple desde el primer conmutador,
[ X , Y ] = [ i X j A j k pag k , X i ] = i X j A j k ( − i d k i ) = X j A j i
no viaja con X = i X j A j k pag k . Pero, veamos los conmutadores de orden superior:
[ X , [ X , Y ] ] = [ i X j A j k pag k , X j ′ A j ′ i ] = i X j A j k [ pag k , X j ′ ] A j ′ i = i X j A j k ( − i d k j ′ ) A j ′ i = X j A j k A k i
Similarmente,
[ X , [ X , [ X , Y ] ] ] = X j A j k A k yo A yo i etc.

Tomemos todo en la fórmula BCH:

mi i X j A j k pag k X i mi − i X j A j k pag k = X j d j i + X j A j i + 1 2 ! X j A j k A k i + 1 3 ! X j A j k A k yo A yo i = X j ( mi A ) j i
o, mejor para nuestro propósito aquí,
mi i X j A j k pag k X i mi − i X j A j k pag k = X i + X j ( mi A − I ) j i
Multiplica a la izquierda por mi i X j A j k pag k , reorganizar y obtener
[ X i , mi i X j A j k pag k ] = X j ( I − mi A ) j i mi − i X yo A yo k pag k

Para el conmutador en el título de la pregunta, [ X , mi i pag X ] , el mismo procedimiento da una fórmula mucho más simple:

mi i X pag X mi − i X pag = X + [ i X pag , X ] + 1 2 ! [ i X pag , [ i X pag , X ] ] + 1 3 ! [ i X pag , [ i X pag , [ i X pag , X ] ] ] + . . . = = X + X + 1 2 ! X + 1 3 ! X + . . . = X + ( mi − 1 ) X
y
[ X , mi i X pag ] = ( 1 − mi ) X mi i X pag

¿Existe una expresión simple para [x,eixp][x,eixp][x,e^{ixp}]?
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