Si z1z1z_1 y z2z2z_2 son dos números complejos, y si z31−3z21z2=2,3z1z22−z32=11z13−3z12z2=2,3z1z22−z23=11z_1^3-3z_1^2z_2=2,3z_1z_2^2-z_2^3=11 ,

dividiendo ambas ecuaciones obtenemos

$$\frac{z_1^2}{z_2^2} \times \frac{z_1-3z_2}{3z_1-z_2}=\frac{2}{11}$$ $\implies$asumiendo $\frac{z_1}{z_2}=p$obtenemos

$$\frac{p^2(p-3)}{3p-1}=\frac{2}{11}$$ es decir,

$$11p^3-33p^2-6p+2=0$$ y esta ecuación cúbica tiene tres raíces reales lo que significa

$\frac{z_1}{z_2}$es real.

Ahora

$$|z_1^2+z_2^2|=|p^2z_2^2+z_2^2|=|z_2^2|(p^2+1) \tag{1}$$

también

$$(z_1-z_2)^3=13$$ $\implies$

$$(pz_2-z_2)^3=13$$ , entonces

$$z_2^3=\frac{13}{(p-1)^3}$$ entonces

$$|z_2|^2=\frac{13^{\frac{2}{3}}}{(p-1)^2}$$ sustituyendo esto en $(1)$obtenemos

$$|z_1^2+z_2^2|=\frac{13^{\frac{2}{3}}(p^2+1)}{(p-1)^2}$$ así que tenemos tres respuestas para cada $p \in \mathbb{R}$

$$z_{1}(z^2_{1}-3z^2_{2}) = 2\Rightarrow z^3_{1}-3z_{1}z^2_{2} = 2\cdots \cdots (1)$$

Similarmente

$$z_{2}(3z^2_{1}-z_{2}^2) = 11\Rightarrow 3z^2_{1}z_{2}-z^3_{2} = 11\cdots (2)\times i$$

Ahora sumamos y restamos estas dos ecuaciones, obtenemos

$$(z_{1}+iz_{2})^3 = 2+11i$$

$$(z_{1}-iz_{2})^3 = 2-11i$$

Entonces

$$(z^2_{1}+z^2_{2})^3 = (2+11i)(2-11i) = 125\Rightarrow |z^2_{1}+z^2_{2}|=5$$