Número complejo Prueba de (z1z2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯z2¯¯¯¯¯(z1z2)¯=z1¯z2¯\overline{\left(\frac {z_1 {z_2}\right)}=\frac {\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.

Question

Número complejo Prueba de (z1z2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯z2¯¯¯¯¯(z1z2)¯=z1¯z2¯\overline{\left(\frac {z_1 {z_2}\right)}=\frac {\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.

Matemáticas
números complejos
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usuario332252

Dejar $z_1=a_1+b_1i$ y $z_2=a_2+b_2i$ ser números complejos. Dejar $\overline{z_1}$ y $\overline{z_2}$ ser el conjugado de $z_1$ y $z_2$ , respectivamente. Probar:
$\bar{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} = \frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}}$ $\overline{\left(\frac {z_1}{z_2}\right)}=\frac {\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$

Mi intento:

comencé con $\overline{\left(\frac {z_1}{z_2}\right)}$ y lo multiplico por $\frac {z_1}{z_2}$ Llegar $\left|\frac {z_1}{z_2}\right|^2=\frac {a_1^2+b_1^2}{a_2^2+b_2^2}$ , pero ahora, no sé por dónde continuar después.

Respuestas (4)

Número complejo Prueba de (z1z2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯z2¯¯¯¯¯(z1z2)¯=z1¯z2¯\overline{\left(\frac {z_1 {z_2}\right)}=\frac {\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.

Seyed M · Answer 1

\begin{aligned} \frac{z_{1}}{z_{2}} & = \frac{a_{1} + i b_{1}}{a_{2} + i b_{2}} \\ = \frac{a_{1} + i b_{1}}{a_{2} + i b_{2}} \cdot \frac{a_{2} - i b_{2}}{a_{2} - i b_{2}} \\ = \frac{(a_{1} + i b_{1}) (a_{2} - i b_{2})}{(a_{2} + i b_{2}) (a_{2} - i b_{2})} \\ = \frac{(a_{1} + i b_{1}) (a_{2} - i b_{2})}{(a_{2}^{2} + b_{2}^{2})} \\ = \frac{(a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}) + i (- a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})}{(a_{2}^{2} + b_{2}^{2})} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{z_1}{z_2}&=\frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2}\\ \\ &=\frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2}\cdot\frac{a_2-ib_2}{a_2-ib_2}\\ \\ &=\frac{(a_1+ib_1)(a_2-ib_2)}{(a_2+ib_2)(a_2-ib_2)}\\ \\ &=\frac{(a_1+ib_1)(a_2-ib_2)}{(a_2^2+b_2^2)}\\ \\ &=\frac{(a_1a_2+b_1b_2)+i(-a_1b_2+a_2b_1)}{(a_2^2+b_2^2)} \end{align}$ El

\frac{(a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}) + i (- a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})}{(a_{2}^{2} + b_{2}^{2})}

$\frac{(a_1a_2+b_1b_2)+i(-a_1b_2+a_2b_1)}{(a_2^2+b_2^2)}$ fracción es un número complejo con denominador real (

a_{2}^{2} + b_{2}^{2}

$a_2^2+b_2^2$ ) y la conjugación de esta fracción solo cambia el numerador

(a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}) + i (- a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})

$(a_1a_2+b_1b_2)+i(-a_1b_2+a_2b_1)$ .

Entonces

\begin{aligned} \bar{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} & = \bar{(\frac{a_{1} + i b_{1}}{a_{2} + i b_{2}})} \\ = \bar{(\frac{(a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}) + i (- a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})}{(a_{2}^{2} + b_{2}^{2})})} \\ = \frac{(a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}) - i (- a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})}{(a_{2}^{2} + b_{2}^{2})} \\ = \frac{(a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}) + i (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})}{(a_{2}^{2} + b_{2}^{2})} \\ = \frac{(a_{1} - i b_{1}) (a_{2} + i b_{2})}{(a_{2}^{2} + b_{2}^{2})} \\ = \frac{(a_{1} - i b_{1}) (a_{2} + i b_{2})}{(a_{2} - i b_{2}) (a_{2} + i b_{2})} \\ = \frac{a_{1} - i b_{1}}{a_{2} - i b_{2}} \cdot \frac{a_{2} + i b_{2}}{a_{2} + i b_{2}} \\ = \frac{a_{1} - i b_{1}}{a_{2} - i b_{2}} \\ = \frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} \overline{\Big(\frac{z_1}{z_2}\Big)}&=\overline{\Big(\frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2}\Big)}\\ \\ &=\overline{ \Big(\frac{(a_1a_2+b_1b_2)+i(-a_1b_2+a_2b_1)}{(a_2^2+b_2^2)}\Big)} \\ \\ &=\frac{(a_1a_2+b_1b_2)-i(-a_1b_2+a_2b_1)}{(a_2^2+b_2^2)} \\ \\ &=\frac{(a_1a_2+b_1b_2)+i(a_1b_2-a_2b_1)}{(a_2^2+b_2^2)} \\ \\ &=\frac{(a_1-ib_1)(a_2+ib_2)}{(a_2^2+b_2^2)} \\ \\ &=\frac{(a_1-ib_1)(a_2+ib_2)}{(a_2-ib_2)(a_2+ib_2)} \\ \\ &=\frac{a_1-ib_1}{a_2-ib_2} \cdot\frac{a_2+ib_2}{a_2+ib_2} \\ \\ &=\frac{a_1-ib_1}{a_2-ib_2} \\ \\ &=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \end{align}$

emilio novatti · Answer 2

Pista:

Puedes completar tu demostración multiplicando también la RHS por $\frac{z_1}{z_2}$ entonces muestra que $\left|\frac {z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ (fácil en forma polar).

Nosrati · Answer 3

Si $w_1=re^{i\theta}$ y $w_2=\rho e^{i\phi}$ entonces

\bar{w_{1}} \bar{w_{2}} = r {mi}^{- i θ} ρ {mi}^{- i ϕ} = r ρ {mi}^{- i (θ + ϕ)} = \bar{w_{1} w_{2}}

$\overline{w_1}\ \overline{w_2}=re^{-i\theta} \rho e^{-i\phi}=r\ \rho e^{-i(\theta+\phi)}=\overline{w_1\ w_2}$ entonces

\bar{w_{1}} \bar{w_{2}} = \bar{w_{1} w_{2}}

$\boxed{\overline{w_1}\ \overline{w_2}=\overline{w_1\ w_2}}$ ahora deja

w_{1} = \frac{z_{1}}{z_{2}}

$w_1=\dfrac{z_1}{z_2}$ y

z_{2}

$z_2$ . También espectáculos directos

\bar{(\frac{w_{1}}{w_{2}})} = \frac{r}{ρ} {mi}^{- i (θ - ϕ)} = \frac{r {mi}^{- i θ}}{ρ {mi}^{- i ϕ}} = \frac{\bar{w_{1}}}{\bar{w_{2}}}

$\overline{\left(\frac {w_1}{w_2}\right)}=\dfrac{r}{\rho} e^{-i(\theta-\phi)}=\dfrac{re^{-i\theta}}{\rho e^{-i\phi}}=\dfrac{\overline{w_1}}{\overline{w_2}}$

Dr. Sonnhard Graubner · Answer 4

obtenemos

\frac{a_{1} + b_{1} i}{a_{2} + b_{2} i} = \frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}) i}{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}

$\frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}=\frac{a_1a_2+b_1b_2+(a_2b_1-a_1b_2)i}{a_2^2+b_2^2}$ y el complemento es

\bar{\frac{a_{1} + b_{1} i}{a_{2} + b_{2} i}} = \frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} - (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}) i}{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}

$\overline{\frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}}=\frac{a_1a_2+b_1b_2-(a_2b_1-a_1b_2)i}{a_2^2+b_2^2}$ y

\frac{a_{1} - b_{1} i}{a_{2} - b_{2} i} = \frac{(a_{1} - b_{1} i) (a_{2} + b_{2} i)}{(a_{2} - b_{2} i) (a_{2} + b_{2} i)} = . . .

$\frac{a_1-b_1i}{a_2-b_2i}=\frac{(a_1-b_1i)(a_2+b_2i)}{(a_2-b_2i)(a_2+b_2i)}=...$ ¿Puedes continuar?

Número complejo Prueba de (z1z2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯z2¯¯¯¯¯(z1z2)¯=z1¯z2¯\overline{\left(\frac {z_1 {z_2}\right)}=\frac {\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.

usuario332252

Respuestas (4)

Seyed M

usuario332252

emilio novatti

Nosrati

Dr. Sonnhard Graubner

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Si z1z1z_1 y z2z2z_2 son dos números complejos, y si z31−3z21z2=2,3z1z22−z32=11z13−3z12z2=2,3z1z22−z23=11z_1^3-3z_1^2z_2=2,3z_1z_2^2-z_2^3=11 ,

USAMO 1973 (Ecuaciones simultáneas)

Demostrar que z¯1z2+z1z¯2=2R(z¯1z2)z¯1z2+z1z¯2=2ℜ(z¯1z2)\bar z_1 z_2+z_1 \bar z_2=2\Re(\bar z_1 z_2)