Si |z1|=|z2|, demuestre que z1+z2z1−z2es imaginario.Si |z1|=|z2|, demuestre que z1+z2z1−z2es imaginario.\text{If } |z_1| = |z_2|, \text{ muestra que } \frac{z_1 + z_2}{z_1-z_2} \text{es imaginario.}

Question

Si |z1|=|z2|, demuestre que z1+z2z1−z2es imaginario.Si |z1|=|z2|, demuestre que z1+z2z1−z2es imaginario.\text{If } |z_1| = |z_2|, \text{ muestra que } \frac{z_1 + z_2}{z_1-z_2} \text{es imaginario.}

fracciones
Matemáticas
trigonometría
números complejos

Meers E. Chahine

$\text{If } |z_1| = |z_2|, \text{ show that } \frac{z_1 + z_2}{z_1-z_2} \text{is imaginary.}$

Lo primero que intenté hacer fue multiplicar arriba y abajo por el conjugado del denominador...

\frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1} - z_{2}} (\frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1} + z_{2}}) = \frac{z_{1}^{2} + 2 z_{1} z_{2} + z_{2}^{2}}{z_{1}^{2} - z_{2}^{2}}

$\frac{z_1 + z_2}{z_1-z_2} \left( \frac{z_1 + z_2}{z_1+z_2} \right) \\ = \frac{z_1^2 + 2z_1z_2 + z_2^2}{z_1^2-z_2^2}$

Entonces yo $\text{Let }z_1,z_2 = x_1+iy_1,x_2+iy_2$ y se expandió... pero entonces la ecuación era demasiado grande para trabajar con ella. Lo que quería hacer era simplificar tanto como pudiera, como hice con $\frac{1-z}{1+z}$ que acaba de igualar $\frac{-i\sin\theta}{1+\cos\theta}$ (después de haber sido escrito en forma Mod-Arg, por supuesto). Entonces, ¿qué debo hacer de aquí en adelante? Gracias de antemano.

Semiclásico

Otro enfoque sería calcular la parte real y mostrar que se anula.

vadim123

Si

z_{1} = z_{2} = 1

$z_1=z_2=1$ , la fracción no está definida y mucho menos imaginaria.

André Nicolás

Multiplicar arriba y abajo por el conjugado del denominador suena bien. el conjugado es

\bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}

$\overline{z_1}-\overline{z_2}$ , y no lo que escribiste.

Semiclásico

@vadim123: Presumiblemente el valor de

\frac{z_{1} +_{2}}{z_{1} - z_{2}}

$\frac{z_1+_2}{z_1-z_2}$ va al infinito a lo largo del eje imaginario en ese caso.

Meers E. Chahine

@AndréNicolas ¡Gracias! Traté de racionalizar la fracción sin tener en cuenta los números complejos, ¡gracias de nuevo!

André Nicolás

De nada. No es la forma más eficiente de resolver el problema, pero funciona.

Meers E. Chahine

@ vadim123 Lo sé, pero eso no es lo que dice la pregunta, dice que la magnitud de cada número complejo es la misma, por ejemplo -1 + i y 1 - tengo la misma magnitud/módulo, por lo que se definiría después de todo .

vadim123

@SamirChahine, la pregunta está formulada incorrectamente. Llevar

z_{1} = z_{2} = 1 - i

$z_1=z_2=1-i$ y volverás a obtener una fracción indefinida.

Meers E. Chahine

Pero

z_{1}

$z_1$ y

z_{2}

$z_2$ no son iguales? De lo contrario, la fracción sería indefinida e irresoluble.@vadim123

Respuestas (4)

Si |z1|=|z2|, demuestre que z1+z2z1−z2es imaginario.Si |z1|=|z2|, demuestre que z1+z2z1−z2es imaginario.\text{If } |z_1| = |z_2|, \text{ muestra que } \frac{z_1 + z_2}{z_1-z_2} \text{es imaginario.}

Otro enfoque sería calcular la parte real y mostrar que se anula.
Si $z_1=z_2=1$ , la fracción no está definida y mucho menos imaginaria.
Multiplicar arriba y abajo por el conjugado del denominador suena bien. el conjugado es $\overline{z_1}-\overline{z_2}$ , y no lo que escribiste.
@vadim123: Presumiblemente el valor de $\frac{z_1+_2}{z_1-z_2}$ va al infinito a lo largo del eje imaginario en ese caso.
@AndréNicolas ¡Gracias! Traté de racionalizar la fracción sin tener en cuenta los números complejos, ¡gracias de nuevo!
De nada. No es la forma más eficiente de resolver el problema, pero funciona.
@ vadim123 Lo sé, pero eso no es lo que dice la pregunta, dice que la magnitud de cada número complejo es la misma, por ejemplo -1 + i y 1 - tengo la misma magnitud/módulo, por lo que se definiría después de todo .
@SamirChahine, la pregunta está formulada incorrectamente. Llevar $z_1=z_2=1-i$ y volverás a obtener una fracción indefinida.
Pero $z_1$ y $z_2$ no son iguales? De lo contrario, la fracción sería indefinida e irresoluble.@vadim123

polmath · Answer 1

¿Cómo puedes usar la condición? $| z_1 | = | z_2 |$ ? Esto invita a utilizar la representación de números complejos en coordenadas polares.

Así que si uno escribe $z_1 = r e^{i \theta_1}$ y $z_2 = r e^{i \theta_2}$ , la pregunta equivale a demostrar que $\frac{e^{i \theta_1} + e^{i \theta_2}}{e^{i \theta_1} - e^{i \theta_2}}$ es imaginario. Dividiendo el numerador y el denominador por $e^{i(\theta_1 - \theta_2)/2}$ conduce al resultado.

Umberto P. · Answer 2

Multiplique en su lugar por $\dfrac{\bar{z_1} + \bar{z_2}}{\bar{z_1} + \bar{z_2}}$ Llegar $\displaystyle \frac{|z_1|^2 + z_1\bar{z_2} + \bar{z_1}{z_2} + |z_2|^2}{|z_1|^2 + z_1\bar{z_2} - \bar{z_1}{z_2} - |z_2|^2}$ . El denominador es imaginario y el numerador es real.

¡Gracias! Olvidé esa notación conjugada, ¡gracias de nuevo!

laboratorio bhattacharjee · Answer 3

\frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1} - z_{2}} + \frac{{\bar{z}}_{1} + {\bar{z}}_{2}}{\bar{z_{1} - z_{2}}}

$\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}+\frac{\overline z_1+\overline z_2}{\overline{z_1-z_2}}$

= \frac{2 {\bar{z}}_{1} z_{1} - 2 {\bar{z}}_{2} z_{2}}{| z_{1} - z_{2} |^{2}} = 0

$=\frac{2\overline z_1z_1-2\overline z_2z_2}{|z_1-z_2|^2}=0$

como $z\overline z=|z|^2=|\overline z|^2$

y como $x+iy+\overline{x+iy}=2x$

Espera, ¿por qué sumas las fracciones en lugar de multiplicarlas? @lab bhattacharjee
@SamirChahine, ¿has seguido la última línea? ¿Dónde has encontrado que es obligatorio multiplicar fracciones?
¿No es racionalizar el denominador multiplicar la fracción entera por su conjugado? ¿O puedo sumar cuando se trata de números complejos? @labbhattacharjee
@SamirChahine, es otra forma de racionalizar el denominador. Por favor, siga la última línea de la respuesta.
Acabo de hacerlo, estoy asombrado, gracias aha, ¡tiene mucho más sentido!
@SamirChahine, Bienvenido. Además, encuentre mi otra respuesta, ¿el cálculo parece demasiado grande?

laboratorio bhattacharjee · Answer 4

Configuración $z_1=a+ib,z_2=c+id$

\frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1} - z_{2}} = \frac{a + C + i (b + d)}{a - C + i (b - d)}

$\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=\frac{a+c+i(b+d)}{a-c+i(b-d)}$

= \frac{{a + C + i (b + d)} {a - C - i (b - d)}}{(a - C)^{2} + (b - d)^{2}}

$=\frac{\{a+c+i(b+d)\}\{a-c-i(b-d)\}}{(a-c)^2+(b-d)^2}$

Claramente, la parte real del numerador es $(a+c)(a-c)+(b+d)(b-d)=a^2+b^2-(c^2+d^2)=|z_1|^2-|z_2|^2$

Si |z1|=|z2|, demuestre que z1+z2z1−z2es imaginario.Si |z1|=|z2|, demuestre que z1+z2z1−z2es imaginario.\text{If } |z_1| = |z_2|, \text{ muestra que } \frac{z_1 + z_2}{z_1-z_2} \text{es imaginario.}

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