Las reglas de demostración para números reales son válidas para números complejos

me gustaria probar eso mi z 1 mi z 2 = mi z 1 − z 2 . Obviamente, esto es cierto para los números reales, pero aquí, z 1 = X 1 + i y 1 y z 2 = X 2 + i y 2 , por lo que debe probarse.

mi z 1 mi z 2 = mi X 1 ( porque ⁡ ( y 1 ) + i pecado ⁡ ( y 1 ) ) mi X 2 ( porque ⁡ ( y 2 ) + i pecado ⁡ ( y 2 ) ) = mi X 1 mi X 2 ∗ ( porque ⁡ ( y 1 ) + i pecado ⁡ ( y 1 ) ) ( porque ⁡ ( y 2 ) + i pecado ⁡ ( y 2 ) )

puedo ignorar mi X 1 mi X 2 por ahora y tratar de demostrar que

( porque ⁡ ( y 1 ) + i pecado ⁡ ( y 1 ) ) ( porque ⁡ ( y 2 ) + i pecado ⁡ ( y 2 ) ) = C o s ( y 1 − y 2 ) + i pecado ⁡ ( y 1 − y 2 )

Entonces, porque mi X 1 mi X 2 = mi X 1 − X 2 ( X 1 y X 2 son reales), sabría que mi X 1 − X 2 = porque ⁡ ( y 1 − y 2 ) + i pecado ⁡ ( y 1 − y 2 ) cual es mi z 1 − z 2 .

Creo que este paso intermedio que no sé cómo hacer se puede hacer con las identidades trigonométricas, porque ⁡ ( α − β ) = porque ⁡ α porque ⁡ β + pecado ⁡ α pecado ⁡ β y pecado ⁡ ( α − β ) = pecado ⁡ α porque ⁡ β − porque ⁡ α pecado ⁡ β . Simplemente no veo cómo hacer que eso funcione.

Su formato se verá mucho mejor y será mucho más legible si usa \sin en lugar de sin. Por ejemplo, $\sin\alpha\sin\beta$imprime como pecado ⁡ α pecado ⁡ β
Intenta multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador.

Respuestas (1)

Creo que hay un enfoque más simple.

si sabes eso

mi X + i y = mi X mi i y

entonces en general sabes que

mi z 1 + z 2 = mi z 1 mi z 2

entonces

mi z 1 − z 2 mi z 2 = mi z 1 − z 2 + z 2 = mi z 1

y entonces

mi z 1 − z 2 = mi z 1 mi z 2

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