¿Por qué una raíz es extraña cuando se usan desarrollos polinómicos de números complejos de cos(4x) para encontrar cos(π/8)?

Usando el teorema de De Moivre, la expansión binomial y la identidad de Pitágoras, tengo el siguiente polinomio para porque ⁡ 4 θ :

porque ⁡ ( 4 θ ) = 8 porque 4 ⁡ θ − 8 porque 2 ⁡ θ + 1

Estoy tratando de encontrar un valor exacto para porque ⁡ ( π 8 ) .

Desde porque ⁡ ( π 2 ) = 0 , entonces porque ⁡ ( 4 ⋅ π 8 ) = 0 , por lo que debe ser cierto que

8 porque 4 ⁡ ( π 8 ) − 8 porque 2 ⁡ ( π 8 ) + 1 = 0
y por la fórmula cuadrática tengo
porque ⁡ ( π 8 ) = ± 2 ± 2 2
Desde π 8 está en el primer cuadrante, descartamos la raíz negativa, por lo que tenemos
porque ⁡ ( π 8 ) = 2 ± 2 2

Ahora, porque ⁡ ( π 8 ) = 2 + 2 2 es cierto, pero porque ⁡ ( π 8 ) = 2 − 2 2 Es falso. (Lo sé por el valor numérico aproximado de porque ⁡ ( π 8 ) .)

Mi pregunta: ¿Cómo sabemos 2 − 2 2 es una raíz extraña?

Respuestas (2)

Desde 0 < π 8 < π 4 , y desde porque ⁡ | [ 0 , π / 2 ] es estrictamente decreciente,

1 > porque ⁡ ( π 8 ) > porque ⁡ ( π 4 ) = 2 2 .
Pero
2 − 2 2 < 2 2 .

Ah, sí. ¡Gracias!

Tenga en cuenta que al configurar θ = 3 π 8 , 9 π 8 , 11 π 8 recuperamos tres soluciones más a la misma ecuación cuártica. Como esta ecuación solo puede tener 4 soluciones, este es el conjunto completo de soluciones.

Ahora porque ⁡ 9 π 8 = − porque ⁡ π 8 y porque ⁡ 11 π 8 = − porque ⁡ 3 π 8 y por tanto, de las raíces positivas una de ellas es porque ⁡ π / 8 y el otro es porque ⁡ 3 π / 8. Desde porque ⁡ X ia s función decreciente en [ 0 , π ] , concluya que el valor deseado debe ser el más bajo de los dos positivos, y obtenga porque ⁡ 3 π / 8 gratis también.

¿Por qué una raíz es extraña cuando se usan desarrollos polinómicos de números complejos de cos(4x) para encontrar cos(π/8)?
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