¿Existe una prueba para el cociente de dos valores en trigonometría de números complejos?

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¿Existe una prueba para el cociente de dos valores en trigonometría de números complejos?

Matemáticas
trigonometría
números complejos

joshuaheckroodt

Sean dos números complejos en un plano de números complejos, uno de los cuales es $Z_1=r_1(\cos(\theta_1)+i\cdot \sin(\theta_1))$ y el otro $Z_2=r_2(\cos(\theta_2)+i\cdot \sin(\theta_2))$

Siendo la fórmula para el cociente de estos dos valores

\frac{Z_{1}}{Z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} [porque (θ_{1} - θ_{2}) + i \cdot pecado (θ_{1} - θ_{2})]

$\frac{Z_1}{Z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\cdot \sin(\theta_1-\theta_2)]$

¿Hay una prueba para esta fórmula? ¿Y cómo afecta la división de números complejos a esta fórmula?

Respuestas (2)

¿Existe una prueba para el cociente de dos valores en trigonometría de números complejos?

amante de las matemáticas · Answer 1

\frac{Z_{1}}{Z_{2}} = \frac{r_{1} {mi}^{i θ_{1}}}{r_{2} {mi}^{i θ_{2}}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} {mi}^{i (θ_{1} - θ_{2})} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (porque (θ_{1} - θ_{2}) + i pecado (θ_{1} - θ_{2})) .

$\frac{Z_1}{Z_2}=\frac{r_1e^{i \theta_1}}{r_2e^{i \theta_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\theta_1-\theta_2)+i \sin(\theta_1-\theta_2)\right).$

Por supuesto, esto también funciona. Sin embargo, el propósito de la prueba que proporcioné estaba más dirigido a probar el teorema mediante el uso de propiedades de cociente de números complejos.

joshuaheckroodt · Answer 2

La división de números complejos es más complicada que la de números reales, dado que para el número complejo $\displaystyle \frac{Z_1}{Z_2}$ , el conjugado de $Z_2$ siempre se utiliza para calcular el resultado.

Por lo tanto, la demostración de la fórmula anterior viene dada por lo siguiente:

$\displaystyle\frac{Z_1}{Z_2}=\frac{r_1(\cos(\theta_1)+i\cdot \sin(\theta_1))}{r_2(\cos(\theta_2)+i\cdot \sin(\theta_2))}$

a partir de aquí, es necesario multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de $\cos(\theta_2)+i\cdot \sin(\theta_2)$ , cual es $\cos(\theta_2)-i\cdot \sin(\theta_2)$

$\displaystyle \frac{Z_1}{Z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{\cos(\theta_1)+i\cdot \sin(\theta_1)}{\cos(\theta_2)+i\cdot \sin(\theta_2)}\cdot\frac{\cos(\theta_2)-i\cdot \sin(\theta_2)}{\cos(\theta_2)-i\cdot \sin(\theta_2)}$

ahora expande como de costumbre

$\displaystyle \frac{Z_1}{Z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\cos(\theta_1)\cos(\theta_2)-\cos(\theta_1)i\cdot \sin(\theta_2)+i\cdot \sin(\theta_1)\cos(\theta_2)-i^2 \sin(\theta_1)\sin(\theta_2)}{\cos^2(\theta_2)-i^2\sin^2(\theta_2)}$

en este paso en particular, es importante mencionar que i es un valor con una propiedad tal que $i^2=-1$ , por lo tanto donde sea $-i^2$ está presente, en el siguiente paso esos valores se convertirán en +1 . Además, se supone cierto conocimiento de las identidades trigonométricas, ya que en los pasos siguientes se realizarán sustituciones utilizando estas identidades.

$\displaystyle \frac{Z_1}{Z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot \cos(\theta_1)\cos(\theta_2)+\sin(\theta_1)\sin(\theta_2)+i\cdot \sin(\theta_1)\cos(\theta_2)-\cos(\theta_1)i\cdot \sin(\theta_2)$

y finalmente

$\displaystyle \frac{Z_1}{Z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\cdot \sin(\theta_1-\theta_2)]$

en última instancia, la división de números complejos es la razón principal por la que esta demostración se realiza de la forma en que se realiza. No es nada especial, pero siempre es genial. Cualquier comentario o mejora, no dude en responder.

¿Existe una prueba para el cociente de dos valores en trigonometría de números complejos?

joshuaheckroodt

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amante de las matemáticas

joshuaheckroodt

joshuaheckroodt

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