¿Qué se sabe sobre la estructura topológica del espacio-tiempo?

¡Esa es una gran pregunta! Lo que está preguntando es uno de los eslabones perdidos entre la gravedad clásica y la cuántica.

Por sí solas, las ecuaciones de Einstein,$G_{\mu\nu} = 8 \pi G T_{\mu\nu}$, son ecuaciones de campo locales y no contienen ninguna información topológica. A nivel del principio de acción,

el término que generalmente incluimos es el escalar de Ricci$\mathbf{R} = \mathrm{Tr}[ R_{\mu\nu} ]$, que depende solo de las derivadas primera y segunda de la métrica y es, de nuevo, una cantidad local. Entonces, la acción tampoco nos habla de la topología, a menos que estés en dos dimensiones, donde la característica de Euler viene dada por la integral del escalar de Ricci:

(módulo algunos factores numéricos). Entonces, la gravedad en 2 dimensiones es completamente topológica. Esto contrasta con el caso 4D donde la acción de Einstein-Hilbert parece no contener información topológica.

Esto debería cubrir su primera pregunta.

No todo está perdido, sin embargo. Se pueden agregar grados de libertad topológicos a la gravedad 4D mediante la adición de términos correspondientes a varias invariantes topológicas (Chern-Simons, Nieh-Yan y Pontryagin). Por ejemplo, la contribución de Chern-Simons a la acción se ve así:

Aquí hay un artículo muy bueno de Jackiw y Pi para los detalles de esta construcción.

Hay mucho más que decir sobre la topología y la relatividad general. Su pregunta solo rasca la superficie. ¡Pero hay una mina de oro debajo! Dejaré que alguien más aborde tu segunda pregunta. La respuesta corta es "sí".

Solo un punto adicional que no he visto mencionado anteriormente: si el espacio-tiempo tiene un grupo fundamental no trivial, un observador en el infinito no lo verá . Este es el contenido del Teorema de la Censura Topológica . La implicación es que para un espacio-tiempo asintóticamente plano, cualquier topología interesante se ocultará detrás del horizonte de eventos. La prueba del teorema es sorprendentemente simple: es más o menos una extensión directa del teorema de singularidad de Penrose.

Ver:

Friedman, JL; Schleich, K. & Witt, DM Censura topológica Phys. Rev. Lett., Sociedad Americana de Física, 1993, 71, 1486-1489

Schleich, K. & Witt, DM Singularidades de la topología y estructura diferenciable de espaciotiempos asintóticamente planos http://arxiv.org/abs/1006.2890

Galloway, GJ. Sobre la topología del dominio de la comunicación exterior . Clase. Gravedad Cuántica. 12 N° 10 (octubre de 1995) L99 (3pp)

No sé la respuesta, pero su intuición es correcta: el hecho de que las ecuaciones sean locales no significa que no pueda haber una restricción en la topología de una solución global. Por ejemplo, en la firma euclidiana,$R_{ij} = g_{ij}$implica inmediatamente que la curvatura escalar es positiva, lo que a su vez conduce a restricciones topológicas. Si la variedad de cuatro es Einstein y compleja, entonces debe ser una superficie de Del Pezzo (altamente restringida). No sé mucho sobre la firma de Lorentzian, pero sé que los PDE son una bestia completamente diferente. He visto algunos resultados sobre la clasificación de posibles grupos de holonomía de variedades de Lorentzian Einstein, pero no sé nada global (en realidad, no sé nada en absoluto).

1. Las ecuaciones de Einstein describen la estructura local del espacio-tiempo. No contienen información global o topológica.

   Si bien escuché que algunas restricciones en la escala de la topología pueden derivarse de la curvatura del Universo si la curvatura es negativa. (Algo así como "escala = entero múltiplo de 1/curvatura".)

2. Bueno, si nuestro espacio tiene una topología no trivial, entonces los rayos de luz "envolverán" nuestro universo varias veces y podrás ver las mismas copias (similares) de galaxias. Escuché de personas que buscaban tales similitudes sin éxito.

   Además, la topología no trivial debe dar como resultado alguna correlación en CMB; tampoco se encontraron tales correlaciones (¿todavía?).

Estas son dos preguntas independientes, una matemática y otra sobre observaciones.

1. ¿Qué restricciones implican las ecuaciones de Einstein sobre la estructura global del espacio y/o el espacio-tiempo? No sé la respuesta general, mi impresión es que no se sabe tanto sobre las variedades de Lorentz como sobre las variedades de Euclides. Además, no hay razón para sospechar que el espacio/espacio-tiempo está libre de singularidades (al menos sabemos de muchos agujeros negros en el universo), y dudo que se pueda decir mucho sobre la estructura global de cualquier variedad si se tiene en cuenta singularidades.

2. Acerca de la física observacional: el único observable en el que puedo pensar que es sensible a la estructura global son los multipolos bajos del CMB, y de vez en cuando hay artículos sobre el tema, para explicar anomalías en tales multipolos (por ejemplo, historias sobre en forma de pelota de fútbol universo). Por desgracia, la varianza cósmica limita la seriedad con la que puede tomar tales observaciones y modelos destinados a explicarlas.

Sobre la cuestión de los experimentos y la topología, hay algunos trabajos sobre el tema de Glenn Starkman et al. En su trabajo, buscan estructuras en el CMB que indiquen alguna topología particular para el universo. Hay una muy buena conferencia dada en PI sobre el tema, así como otros temas que tienen que ver con CMB . Para darle un spoiler sobre la conferencia, no han encontrado nada en las correlaciones de ángulo grande.