Acerca de las distancias entre un punto y un plano

Tenemos un punto en el avión.$P_0(x_0,y_0,z_0)$y un punto fuera del plano$P_1(x_1,y_1,z_1)$. la distancia de$P_1$al plano se calcula por la magnitud de proyección de$\vec{P_0P_1}$sobre la normal del plano$\vec n$.

Por lo tanto, tenemos

$$\begin{align} \left|\operatorname{proj}_{\vec n}\vec{P_0P_1}\right|=\frac{|\vec{P_0P_1}\cdot\vec n|}{|\vec n|}&=\frac{|(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\cdot(a,b,c)|}{|(a,b,c)|}\\ &=\frac{|a(x_1-x_0)+b(y_1-y_0)+c(z_1-z_0)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ &=\frac{|ax_1-ax_0+by_1-by_0+cz_1-cz_0|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ \end{align}$$

Como la ecuación del plano es

$$ax_0+by_0+cz_0+d=0\implies d=-ax_0-by_0-cz_0,$$ tenemos la fórmula $$D=\frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ dónde$D$es la distancia entre$P_1$y el avión