¿Dónde se pierde la energía en un resorte?

Te estás perdiendo un punto algo sutil en tu análisis. El bloque de la izquierda en tu diagrama, donde el resorte está en su posición de equilibrio, se está moviendo, por lo que tiene energía cinética (que actualmente estás ignorando). Te dejo a ti decidir cuál debe ser la velocidad y verificar que el CoE se mantenga.

Tiene que estar en movimiento porque, si no fuera así, debe haber alguna fuerza (¿tu mano?) que lo mantenga en su lugar. Esto contaría como una fuerza externa, y cuando actúa tal fuerza, CoE no se sostiene.

La energía "faltante" a la que te refieres en realidad dejó el sistema bloque-resorte cuando la fuerza externa interactuaba con el bloque. Una forma de pensarlo es la siguiente.

El teorema del trabajo y la energía cinética nos dice que, dado que la EC del bloque no cambia durante el proceso de descenso, el trabajo neto realizado en el bloque es 0:

$$W_{net}=\Delta \mathrm{KE}=0,$$ pero el trabajo neto realizado en el bloque se puede escribir como $$W_{net}=W_{grav}+W_{spring}+W_{external}.$$ La gravedad, el resorte y el agente externo (es decir, mi mano) están todos haciendo trabajo en el bloque, y la suma de estos debe ser 0, ya que KE no cambió. La gravedad realiza un trabajo positivo, ya que el desplazamiento tiene la misma dirección que la fuerza de gravedad. El resorte y el agente externo realizan trabajo negativo, ya que sus fuerzas se aplican en sentido contrario al desplazamiento: $$W_{grav}=mgx=\frac{m^2g^2}{k}.$$ El trabajo realizado por el resorte es igual a menos la cantidad de energía potencial que gana (en otras palabras, el resorte realiza un trabajo negativo sobre el bloque, el bloque realiza un trabajo positivo sobre el resorte), por lo que $$W_{spring}=-\frac{1}{2}kx^2=-\frac{m^2g^2}{2k},$$ y, del teorema de la energía cinética del trabajo, tenemos entonces $$0=W_{grav}+W_{spring}+W_{external}\implies W_{external}=-\frac{m^2g^2}{k}+\frac{m^2g^2}{2k}=-\frac{m^2g^2}{2k}.$$ Entonces, el agente externo realiza un trabajo negativo en el resorte (o el resorte realiza un trabajo positivo en el agente externo), lo que explica exactamente la energía que notó que "faltaba".

Imagina que extiendes la primavera desde$x_0$x agregando un peso, en lugar de empujar hacia abajo con la mano. Esto ayudará a ilustrar por qué COE solo funciona si tiene en cuenta todas las fuerzas relevantes.

Entonces, agrega un peso de masa M a la configuración original. Tu nueva posición de equilibrio es donde fuerza gravitacional = fuerza de resorte.

Gravedad => F=mg + Mg (m es la masa original del bloque, M es la adicional).

Resorte => F=kx entonces...

kx = mg+mg

(incidentally I don't think you can say that kx=mg as you do, mg is not enough force to keep the spring extended at x, mg gets you to x0, the original extension)

But how did we get to this point? Intuitively you know that if I added a weight of mass M, the system starts moving, it has to move to reach the new extension. Hence there is now Kinetic Energy, which means we are in the wonderful world of harmonic motion unless something stops us...

But your scenario isn't moving (you make this clear in your question). So something has happened to stop the system. An external force has stopped us (e.g. frictional losses over time).

Esta es tu energía perdida. Como ha señalado otra respuesta, un elemento externo (por ejemplo, mano + brazo + hombro, etc.) ha trabajado para detener el bloque en la extensión X. O, con el tiempo, la energía cinética se perdió debido a la fricción. De cualquier manera, se ha ido o se almacena en energía potencial externa (ver más abajo)

Otra forma de pensar en ello es imaginar que tienes una barra de acero que sujeta el peso hacia abajo, por lo que sin mano, no hay peso nuevo. En este escenario, tendría energía potencial almacenada en la varilla, que se habrá doblado ligeramente.