Si el lagrangiano es separable en coordenadas y velocidad generalizadas, ¿eso significa que el hamiltoniano es igual a la energía total? [cerrado]

No estoy seguro de entender lo que quiere decir con separable, sin embargo, su reclamo inicial

hamiltoniano es igual a la energía total si el lagrangiano es independiente del tiempo y el potencial no depende de las velocidades

es falso en general. Además, la expresión explícita de la energía cinética no es separable en suma de productos de coordenadas generalizadas y sus derivadas temporales, pero también puede tener una parte añadida que es función de$q$pero no de$\dot{q}$. (Observe que ya existe una parte similar en$L$y está dada por la energía potencial, aquí en cambio también está incluida en la energía cinética).

Consideremos, como ejemplo más simple, una partícula$P$de masa$m>0$obligado a moverse a lo largo de$x'$-eje (sin fricción) y conectado al origen por un resorte ideal de constante$k>0$. Denotamos por$s$la coordenada de$P$a lo largo de$x'$.

Finalmente suponga que el marco$K'$definido por$x'y'z'$está girando alrededor$z$con velocidad angular constante$\Omega>0$con respecto a un marco de referencia inercial$K$con hachas$xyz$y$z=z'$.

Es fácil probar que la velocidad de$P$en$K$es

$${\bf v}|_K = s \Omega\left(-\sin (\Omega t) {\bf e}_x + \cos (\Omega t) {\bf e}_y\right)+ \dot{s}(\cos(\Omega t) {\bf e}_x + \sin (\Omega t) {\bf e}_y)$$ de modo que la energía cinética en $K$es, con cálculos triviales, $$T|_K = \frac{m}{2}{\bf v}|_K^2= \frac{m}{2}\left(\dot{s}^2 + s^2\Omega^2\right)\:.$$ eso ya lo ves aqui $T|_K$no es separable en $s$y $\dot{s}$en el sentido que quisiste decir.

El lagrangiano es por lo tanto

$$L|_K(s, \dot{s}) = \frac{m}{2}\left(\dot{s}^2 + s^2\Omega^2\right) - \frac{k}{2}s^2\:.$$ Incluso si $L|_K$no es una función explícita del tiempo, la función hamiltoniana (que es constante en el tiempo a lo largo de las soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange) no coincide con la energía total en$K$¡sin embargo! de hecho es $$H(s, \dot{s}) = \frac{\partial L|_K}{\partial \dot{s}}\dot{s}- L|_K = \frac{m}{2}\dot{s}^2 - \frac{m}{2}s^2\Omega^2\ + \frac{k}{2}s^2$$ mientras que la energía en $K$es $$E|_K(s, \dot{s}) = T|_K + U|_K = \frac{m}{2}\dot{s}^2 + \frac{m}{2}s^2\Omega^2\ + \frac{k}{2}s^2\:.$$ Este último no es constante a lo largo de las soluciones de la ecuación de movimiento.

La hipótesis adicional fundamental que omitió para obtener los dos resultados que reclama es que

la posición de los puntos del sistema en el marco de reposo utilizado para calcular las velocidades es una función solo de coordenadas generalizadas y no del tiempo.

En este caso se viola la hipótesis porque la posición de$P$en$K$lee

$${\bf x}(t,q) = s\cos(\Omega t){\bf e}_x + s\sin(\Omega t){\bf e}_y$$ dónde $t$aparece explícitamente.

En cuanto al significado de$H$en el ejemplo considerado, no es más que

la energía total calculada en$K'$.

En$K'$, además de la fuerza del resorte, aparecen otras dos fuerzas de inercia : la fuerza de Coriolis que no juega ningún papel porque exactamente como la fuerza reactiva es normal a la velocidad del punto en$K$, y la fuerza centrífuga que actúa como un resorte repulsivo de constante$-m\Omega^2$. Como una cuestión de hecho:

$$L|_{K'}(s, \dot{s}) = \frac{m}{2}\dot{s}^2 - \frac{k}{2}s^2 + s^2\Omega^2 = L|_{K}(s, \dot{s})\:.$$ y por lo tanto $$H(s, \dot{s}) = \frac{\partial L|_{K'}}{\partial \dot{s}}\dot{s}- L|_{K'} = \frac{m}{2}\dot{s}^2 +\left( \frac{k}{2}s^2 - \frac{m}{2}s^2\Omega^2\right) = T|_{K'}+ U|_{K'} = E|_{K'}(s, \dot{s}).$$

Observe que la energía cinética es simplemente

$$T|_{K'}=\frac{m}{2}\dot{s}^2$$ y por lo tanto es separable como afirmaste. De hecho la posición de $P$en $K'$es trivialmente $t$-independiente $${\bf x}(t,s) = s {\bf e}_{x'}\:.$$

El teorema que buscas dice

TEOREMA (a veces conocido como teorema de Jacobi) Si, como sistema que admite descripción largangiana, el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, entonces la función hamiltoniana es constante en el tiempo a lo largo de las soluciones de EL

Además, si en el marco de referencia$K$utilizado para construir el Lagrangiano

(a) todas las fuerzas (salvo las reactivas) admiten energía potencial independiente del tiempo y

(b) las posiciones de los puntos de los sistemas en$K$no son función explícita del tiempo,

entonces se cumplen los siguientes hechos.

(1) La función hamiltoniana coincide con la energía total.

(2) La energía cinética es separable en el sentido de que tiene la forma (donde$q =(q^1,\ldots, q^n)$)

$$T|_K(q, \dot{q}) = \sum_{h,k=1}^n a_{hk}(q) \dot{q}^h \dot{q}^k$$ de modo que el lagrangiano tiene la forma $$L|_k(q, \dot{q}) = \sum_{h,k=1}^n a_{hk}(q) \dot{q}^h \dot{q}^k - U(q)\:,$$ dónde $$a_{hk}(q) = \sum_{i=1}^N\frac{m_i}{2} \frac{\partial {\bf x}_i}{\partial q^h} \cdot \frac{\partial {\bf x}_i}{\partial q^k}$$ dónde $N$es el número de partículas del sistema con masas $m_i$y vector de posición ${\bf x}_i={\bf x}_i(q^1,\ldots, q^n)$en $K$, y $n$el número de grados de libertad del sistema.

(3) La energía total es constante a lo largo de las soluciones de las ecuaciones EL.