qA⋅vqA⋅vq\mathbf{A}\cdot\mathbf{v} término en energía potencial

Creo que Goldstein cometió un error (o al menos está siendo engañoso).

El hamiltoniano para una partícula cargada en un campo electromagnético es

$$H=\frac{1}{2m}(\vec{p}-q\vec{A})^2+q\phi(\vec x)$$ También sabemos, por la transformación canónica, que el momento canónico está dado por $\vec{p}=m\dot{\vec{x}}+q\vec{A}$. Entonces, de hecho, el hamiltoniano no es más que $$H=\frac{1}{2}m\dot x^2+q\phi(\vec{x})$$ escrito en términos del momento canónico $\vec{p}$. Por lo tanto, el hamiltoniano no solo es la energía total de la partícula, sino que de hecho es exactamente $T+V$.

A lo que creo que se refiere Goldstein es que anteriormente, en el capítulo 1, describió el Lagrangiano para una partícula cargada que surge de una "energía potencial dependiente de la velocidad".$U$, a partir de la cual podría escribir$L=T-U$. Este$U$NO es una energía potencial real, pero hace que el Lagrangiano funcione. En términos de esto$U$, él está diciendo que no podemos escribir$H=T+U$, dónde$U$aquí hay una "energía potencial dependiente de la velocidad" artificial. Pero enfáticamente PODEMOS escribir$H=T+V$, dónde$V$es la energía potencial regular aburrida de una partícula en un campo eléctrico.

1. En primer lugar, Goldstein usa las letras$V$y$U$para potenciales independientes de la velocidad y dependientes de la velocidad, respectivamente, como se explicó al comienzo de la sección 1.5,

2. Tanto la 2.ª edición (pág. 346) como la 3.ª edición (pág. 341) afirman erróneamente que el Lagrangiano para una carga puntual en un campo E&M es

   $$L~=~T-V$$ en vez de $$L~=~T-U.$$ ¡Parece que Goldstein olvida su propia convención de notación de la Sección 1.5!

3. La segunda edición afirma (pág. 346)

   Debido a este término lineal en$U$, el hamiltoniano no es $T+U$.

   Mientras que la 3ra edición establece (p. 342)

   Debido a este término lineal en$V$, el hamiltoniano no es $T+V$.

   La segunda edición es aquí correcta, mientras que la tercera edición es incorrecta, como el hamiltoniano$H$es de hecho la suma de la energía cinética$T$y la energía potencial eléctrica$V=q\phi$. ¡Parece que el error inicial en la 2ª edición provocó un nuevo error en la 3ª edición!

Referencias:

1. H. Goldstein, Mecánica Clásica, 2ª edición, pág. 346.

2. H. Goldstein, Mecánica Clásica, 3ª edición, pág. 341-342.