Invariancia de calibre del hamiltoniano del campo electromagnético

Intentaré elaborar un poco la respuesta de @VladimirKalitvianski.

De las ecuaciones de Maxwell, podemos deducir que la siguiente combinación de transformaciones de calibre en$\mathbf{A}$y$\Phi$dejar ambos$\mathbf{B}$y$\mathbf{E}$invariante:

$$\begin{align} & \mathbf{A}'=\mathbf{A}-\mathbf{\nabla} \alpha \\& \Phi'=\Phi+\frac{\partial \alpha}{\partial t} \end{align}$$ dónde $\alpha=\alpha(\mathbf{x},t)$. Esto significa que todas las configuraciones de campo de $\mathbf{B}$y $\mathbf{E}$relacionados por una transformación de calibre son físicamente equivalentes . Tenga en cuenta que esto no tiene nada que ver con el operador hamiltoniano en QM.

Ahora en QM, sabemos que una función de onda siempre se puede multiplicar por un factor de fase:

$$\psi'=e^{-iq\alpha}\psi,$$ dónde $\alpha \neq \alpha(\mathbf{x},t)$, porque la probabilidad de encontrar la partícula en una posición particular no se ve afectada por la transformación anterior, y tampoco la ecuación de Schrödinger y la corriente de probabilidad se ven afectadas por la transformación anterior. Si ahora exigimos que lo anterior también sea válido para cuando $\alpha = \alpha(\mathbf{x},t)$(es decir, una transformación de calibre), entonces la ecuación de Schrödinger debe hacerse invariante de calibre: $$\begin{equation} i\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{1}{2m}(\mathbf{\nabla}-iq\mathbf{A})^2\psi+(V+q\Phi)\psi \end{equation}$$ tal que la ecuación de Schrödinger es invariante bajo las transformaciones de calibre simultáneas: $$\begin{align} &\mathbf{A}'=\mathbf{A}-\mathbf{\nabla} \alpha \\& \Phi'=\Phi+\frac{\partial \alpha}{\partial t} \\& \psi'=e^{-iq\alpha}\psi \tag{1} \end{align}$$ Tenga en cuenta que podemos decir que hemos ajustado el hamiltoniano "normal" reemplazando las derivadas ordinarias (parciales) por: $$\begin{equation} \begin{array}{cc} \displaystyle \mathbf{\nabla} \rightarrow \mathbf{D}\equiv \mathbf{\nabla} - i q \mathbf{A} \; ,& \displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \rightarrow D^0 \equiv\frac{\partial}{\partial t} + iq \end{array} \end{equation}$$ En resumen, exigiendo que nuestra teoría sea invariante bajo la transformación de calibre expresada por la ecuación $(1)$, nos vemos obligados a cambiar el operador hamiltoniano como hemos hecho anteriormente. Sin embargo, al hacer esto, el nuevo hamiltoniano describe una partícula que interactúa con los potenciales $\mathbf{A}$y $\Phi$. Si no está convencido con este argumento, le recomiendo que lea sobre el efecto Aharonov-Bohm ( http://en.wikipedia.org/wiki/Aharonov%E2%80%93Bohm_effect ).

Además, tenga en cuenta que requerimos que una transformación de calibre no afecte a ningún observable. Esto significa que debemos exigir que la corriente de probabilidad tampoco se vea afectada. Puede mostrar (aunque es bastante tedioso) que la corriente se vuelve invariable al hacer el reemplazo:$\displaystyle \mathbf{\nabla} \rightarrow \mathbf{D}$.

¿Cuál es el significado físico de calibre de no invariancia de potenciales?$\mathbf{A}$y$\phi$? Siguiendo sus definiciones, solo importan sus diferencias, no los valores absolutos, para abreviar.

La distancia entre dos puntos también es invariable, pero la libertad de elegir la posición de referencia del marco se traduce en la no invariancia de la posición de un solo punto.