¿Cuándo el hamiltoniano es igual a la energía del sistema?

Hay algunas condiciones técnicas (sobre el tipo de restricciones en su sistema) pero operativamente$H$es la energía total cuando$\sum_i \dot q_i p_i$es$2\times$la energía cinética Entonces claramente

$$H=\sum_i \dot q_i p_i-L=2T-(T-U)=T+U\, .$$

Si este no es el caso,$H$puede ser conservado pero simplemente no es$E$. Esto ocurre en una amplia variedad de sistemas, como el gobernador de bola volante, y sistemas donde algún agente externo mantiene una velocidad constante de rotación (vg perlas en alambres giratorios de varias formas). La dinámica aún está restringida para permanecer en curvas o superficies de constante$H$, pero por lo general no hay una interpretación física de esta cantidad conservada.

Los casos más simples en los que$H$ es la energía son sistemas naturales, para los cuales la energía cinética es cuadrática en las velocidades

$$T=\sum_{ij} m_{ij}\dot q_i\dot q_j$$ y no hay una dependencia temporal explícita de $t$en el lagrangiano.