Conservación de hamiltoniano vs conservación de energía

Considere la derivada temporal del hamiltoniano

$$\frac{dH(q,p,t)}{dt}=\frac{\partial H}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial H}{\partial p}\dot{p}+\frac{\partial H}{\partial t}=-\dot{p}\dot{q}+\dot{q}\dot{p}+\frac{\partial H}{\partial t}$$

De esto se ve que el hamiltoniano se conserva si no depende del tiempo,$t$, explícitamente.$H$puede o no ser la energía total, si lo es, esto significa que la energía se conserva. Pero incluso si no lo es,$H$sigue siendo una constante de movimiento.