Grupos de mentiras con la misma álgebra

Question

Grupos de mentiras con la misma álgebra

Física
mentira-álgebra
teoría de grupos
ruptura de simetría
teoría cuántica de campos
representaciones de grupo

Wolpertinger

Tuve un problema al considerar la ruptura de simetría en una teoría de calibre SO (4):

$\mathcal{L} = \left| D_\mu\phi \right|^2$

dónde $D_\mu$ es la derivada covariante de SO(4). Luego, suponiendo que hay algún potencial que tiene un mínimo tal que podemos elegir que el estado fundamental sea:

$\langle \phi \rangle = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & v \end{pmatrix}^{T}$

Luego de esto encontré los generadores ininterrumpidos los cuales tienen que generar un subgrupo de SO(4) y que sus generadores cumplan con los $\mathfrak{su}(2)$ álgebra. Ahora quería concluir que, por lo tanto, el subgrupo continuo es SU(2). Pero hay varios grupos que tienen esta misma álgebra, por ejemplo, SO(3) también. ¿Cómo sé cuál es el subgrupo correcto? ¿Hay alguna forma de ver esto desde la forma explícita de los generadores? (por ejemplo, la dimensión de la representación)

qmecanico

Ese es un ejercicio para calcular el grupo de isotropía .

TLDR

Seguro. Encuentre el subgrupo generado por generadores ininterrumpidos. ¿Qué subgrupo te parece más natural? (¿Y cuál probablemente tiene un obstáculo topológico?)

Wolpertinger

@ fs137 ¿qué es un obstáculo topológico?

TLDR

Supongo que debería haber escrito "obstáculo asociado con propiedades globales en lugar de locales". Si exponencias dentro

S O (4)

$SO(4)$ los generadores particulares que salen

⟨ ϕ ⟩

$\langle \phi\rangle$ invariante, entonces encontrará que el cierre da

S O (3)

$SO(3)$ y no

S U (2)

$SU(2)$ , pero la razón de esto tiene más que ver con la geometría diferencial que con la topología.

Respuestas (2)

Grupos de mentiras con la misma álgebra

Seguro. Encuentre el subgrupo generado por generadores ininterrumpidos. ¿Qué subgrupo te parece más natural? (¿Y cuál probablemente tiene un obstáculo topológico?)
Supongo que debería haber escrito "obstáculo asociado con propiedades globales en lugar de locales". Si exponencias dentro $SO(4)$ los generadores particulares que salen $\langle \phi\rangle$ invariante, entonces encontrará que el cierre da $SO(3)$ y no $SU(2)$ , pero la razón de esto tiene más que ver con la geometría diferencial que con la topología.

TLDR · Answer 1

el vector $(0,0,0,v)$ se deja invariante por el conjunto de matrices de la forma

\begin{aligned} METRO = [\begin{matrix} R & \vec{0} \\ {\vec{0}}^{T} & 1 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} M=\begin{bmatrix} R & \vec 0 \\ \vec 0^T & 1\end{bmatrix} \end{align*}$ dónde

det (M) = det (R) = 1

$\det(M)=\det(R)=1$ y

M^{- 1} = M^{T}

$M^{-1}=M^T$ implica

R^{- 1} = R^{T}

$R^{-1}=R^T$ . Por definición,

S O (3)

$SO(3)$ es el grupo de matrices ortogonales de 3 por 3 con determinante 1.

En general, necesita conocer el grupo de Lie para encontrar el subgrupo correcto (es decir, no puede encontrar el subgrupo solo con el álgebra). Esto es exactamente debido a casos como $SU(2)$ y $SO(3)$ que tienen espacios tangentes isomorfos, pero que tienen diferentes propiedades globales.

eso esencialmente responde a mi pregunta gracias! puedo preguntar una cosa más: si tengo una representación explícita del álgebra de Lie (es decir, en el ejemplo que di tenía los generadores ininterrumpidos correspondientes a la representación fundamental del grupo), ¿puedo saber qué grupo es simplemente exponenciando? ? como en las matrices que obtengo, ¿son solo una representación de SO (3) o también podrían ser una representación de SU (2)? (supongo que solo representarían SO (3))
Resulta que $SU(2)$ es una doble cubierta de $SO(3)$ , y hay un homomorfismo sobreyectivo de $SU(2)$ a $SO(3)$ . Para que pueda ver una representación de $SO(3)$ como representación de $SU(2)$ . Nota $SO(4)$ contiene una copia de $SU(2)$ , pero el subgrupo de $SO(4)$ que conserva un vector dado no es equivalente a este grupo.

Diracología · Answer 2

A un álgebra de mentira dada $\mathfrak g$ hay un grupo unico $\tilde G$ , llamado grupo de cobertura universal, con la propiedad de ser simplemente conexo . Por ejemplo, el grupo de cobertura del álgebra $\mathfrak{su}(2)$ es $SU(2)$ .

Los otros grupos, $\{G\}$ , asociado a la misma álgebra se puede obtener del grupo de cobertura de la siguiente forma

GRAMO = \frac{\tilde{GRAMO}}{k mi r (ρ)},

$G=\frac{\tilde G}{Ker(\rho)},$ dónde

K e r (ρ)

$Ker(\rho)$ es el núcleo del homomorfismo de grupo

ρ : \tilde{G} \to G

$\rho:\tilde G\rightarrow G$ . Una vez que haya definido una representación particular, podrá calcular este núcleo. Por ejemplo, comienzas con un

s u (2)

$\mathfrak{su}(2)$ álgebra. Entonces, si elige la representación adjunta, puede mostrar que

K e r (ρ) = Z_{2}

$Ker(\rho)=\mathbb Z_2$ y el grupo sera

G = S U (2) / Z_{2} = S O (3)

$G=SU(2)/\mathbb Z_2=SO(3)$ . Por otro lado, si eliges la representación definitoria obtienes

K e r (ρ) = 1

$Ker(\rho)=\mathbb 1$ y

G = S U (2) / 1 = S U (2)

$G=SU(2)/\mathbb 1=SU(2)$ .

Hay algunos detalles técnicos necesarios para calcular esos kernel. En general,

k mi r (ρ) \subset Z (\tilde{GRAMO}),

$Ker(\rho)\subset\mathcal Z(\tilde G),$ dónde

Z (\tilde{G})

$\mathcal Z(\tilde G)$ es el centro de

\tilde{G}

$\tilde G$ , y este centro es un grupo finito que se puede obtener del diagrama de Dynkin extendido.

Mismas referencias: Cornwell, teoría de grupos en física, 1984; Olive, Turok, Nucl Phys B215, 1983, p470;

Su respuesta está muy bien escrita, pero no aborda la pregunta planteada.
Creo que se dirige. La pregunta básicamente es: Dado un conjunto de generadores ininterrumpidos, formando un álgebra de Lie, y su representación, ¿cuál es el grupo de Lie asociado? Acabo de dar la respuesta sin mencionar el hecho. $G$ es un grupo o un subgrupo de otra cosa. La matemática detrás de esto es la misma.
Su respuesta describe cómo se podría obtener el conjunto de todos los grupos que son consistentes con un álgebra de Lie en particular, pero no describe cómo elegir el grupo correcto.
Entiendo tu argumento. Pero mi respuesta no solo describe cómo asociar todos los grupos a un álgebra de Lie dada. También describe cómo encontrar el grupo particular y "físico" en una ruptura de simetría espontánea particular (SSB). Una vez que define una representación del álgebra de calibre y una SSB particular, conoce la representación de la subálgebra. Luego obtienes el grupo ininterrumpido de la forma que describí anteriormente.
Supongo que dado que la simetría es local, no debería importar en la teoría de perturbaciones si consideramos el grupo de simetría intacto como $SU(2)$ o $SO(3)$ . Sin embargo, parece que la relación entre $SO(3)$ y $SU(2)$ Las teorías de calibre de celosía son más sutiles de lo que sugiere el "límite continuo ingenuo ": arxiv.org/pdf/hep-lat/0211004.pdf . Si hay una diferencia no perturbativa significativa entre $SU(2)$ y $SO(3)$ , luego la incrustación del grupo ininterrumpido en $SO(4)$ asuntos.
Y en realidad hay diferencias significativas no perturbativas entre $SU(2)$ y $SO(3)$ . Principalmente asociado a aspectos topológicos. Una teoría de calibre rota espontáneamente puede o no tener soluciones topológicas (instantones, monopolos, vórtices...) dependiendo de la topología de los grupos de calibre rotos y no rotos.
Sí, pero esa fue la parte que no vi abordada en su respuesta original (es decir, que $SO(3)$ en vez de $SU(2)$ es el grupo de calibre continuo, dado que $\langle\phi\rangle$ se establece en $(0,0,0,v)$ ).

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