Seguimiento de ángulo con un punto marcado dentro de un hexágono regular

Question

Seguimiento de ángulo con un punto marcado dentro de un hexágono regular

ángulo
geometría
polígonos
Matemáticas
concurso-matematicas

usuario574848

Un punto $P$ está marcado dentro de un hexágono regular $ABCDEF$ para que tengamos $\angle BAP=\angle DCP = 50^\circ$ Si $\angle APB$ tiene medida $x$ grados, encontrar $x$ .

Aquí hay un diagrama:

Refiriéndose al diagrama, he intentado hacer un seguimiento de ángulo:

$\angle PAF=\angle PGE=\angle CPH=\angle PCB=70, \angle PGF=110, \angle GPA=HPC=60$ , y todos los ángulos interiores son iguales a $120$ .

Sin embargo, parece que esto no es suficiente para resolver el problema y creo que podría necesitar algún tipo de construcción, pero estoy atrapado aquí.

Asumiendo que la solución necesita algo más que perseguir el ángulo, agradecería construcciones/observaciones y explicaciones de por qué resolverían el problema.

Ethan Bolker

Cuando etiquetas una pregunta concurso-matemáticas, debes decirnos de qué concurso es.

Respuestas (2)

Seguimiento de ángulo con un punto marcado dentro de un hexágono regular

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Jaap Scherphuis · Answer 1

Supongamos que construimos un punto alternativo $P'$ de una manera ligeramente diferente. Dibuja la línea a través $C$ del hexágono tal que $\angle DCG = 50$ , igual que en su diagrama, e ignore todo el resto. Luego dibuja el punto $P'$ en esa línea tal que $BC=BP'$ . Eso da esta imagen:

Usando el hecho de que $AB=BC=BP'$ ahora tienes triangulos isosceles $BCP'$ y $BP'A$ , y no deberías tener problemas para encontrar todos los ángulos en esos dos triángulos.

felizmente resulta que $\angle BAP' = 50$ , de modo que el punto $P'$ en realidad es lo mismo que el punto $P$ , y $\angle APB = \angle AP'B$ .

¡Esto es inteligente! ¿Supongo que encontraste la respuesta primero y luego construiste alrededor de eso?

mengdie1982 · Answer 2

Solución

Como muestra la figura, podemos obtener fácilmente que

∠ O A PAG = ∠ O C PAG = 10^{o},

$\angle OAP=\angle OCP=10^o,$ lo que implica que

A, O, P, C

$A,O,P,C$ son concíclicos. Pero conocemos el centro del círculo.

(A O C)

$(AOC)$ es

B

$B$ , por eso

B A = B PAG .

$BA=BP.$ Como resultado,

∠ A PAG B = ∠ B A PAG = 50^{o} .

$\angle APB=\angle BAP=50^o.$

Muy bonito, gracias. (Yo votaría si pudiera). Mirando hacia atrás, supongo que también podrías ver que $B$ es el centro de $(APC)$ porque el ángulo externo de $ABC$ es dos veces $\angle APC$ y $BA=BC$ .
Note que el centro de un círculo es único. Ahora eso $(AOC)$ y $(APC)$ son el mismo círculo, y $B$ es el centro de $(AOC)$ , por lo que también es el centro de $(APC).$

Seguimiento de ángulo con un punto marcado dentro de un hexágono regular

usuario574848

Ethan Bolker

Respuestas (2)

Jaap Scherphuis

usuario574848

mengdie1982

Solución

usuario574848

mengdie1982

Encontrar un ángulo faltante en la imagen que contiene un hexágono regular y un cuadrado

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