¿Se ven afectados el tiempo y la gravedad en reposo en comparación con la caída libre?

Dado que de sus preguntas anteriores obviamente está interesado en aprender cómo se hace esto, entraré en los detalles del cálculo. Tenga en cuenta que mucho de lo que sigue se puede encontrar en las respuestas existentes, pero adaptaré esta respuesta específicamente para usted.

La dilatación del tiempo se calcula calculando el cambio de tiempo adecuado ,$d\tau$, usando la expresión:

$$c^2d\tau^2 = -g_{ab}dx^adx^b \tag{1}$$

dónde$g_{ab}$es el tensor métrico . La razón por la que podemos usar esto para calcular la dilatación del tiempo es que el tiempo propio es un invariante, es decir, todos los observadores estarán de acuerdo en su valor. Para ilustrar cómo hacemos esto, consideremos el ejemplo simple de un astronauta que se mueve a gran velocidad.$v$en el espacio-tiempo plano. En este caso, la métrica es solo la métrica de Minkowski, y la ecuación (1) se simplifica a:

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \tag{2}$$

Primero hacemos el cálculo en el marco de descanso del astronauta. En ese marco, el astronauta no se mueve tan$dx = dy = dz = 0$, y el tiempo propio observado por el astronauta es simplemente:

$$d\tau_{astronaut} = dt$$

Ahora calculemos aquí en la tierra el tiempo adecuado. Arreglaremos nuestras coordenadas para que el astronauta se mueva a lo largo de la$x$eje, entonces$dy = dz = 0$. En ese caso, la ecuación (2) se convierte en:

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2$$

Para continuar, tengamos en cuenta que si el astronauta se mueve a una velocidad$v$eso significa$dx/dt = v$, porque eso es lo que queremos decir con velocidad. Entonces$dx = vdt$. Pon esto en nuestra ecuación y obtenemos:

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - (vdt)^2$$

que se reorganiza a:

$$d\tau_{Earth} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}dt$$

Debido a que el tiempo propio es un invariante, tanto nosotros como el astronauta debemos haber calculado el mismo valor, es decir$d\tau_{Earth} = d\tau_{astronaut}$, y si sustituimos$d\tau_{Earth}$en la ecuación anterior obtenemos:

$$\frac{d\tau_{astronaut}}{dt} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma}$$

dónde$\gamma$es el factor de Lorentz . Pero el lado izquierdo es solo la variación del tiempo del astronauta con nuestro tiempo; en otras palabras, es la dilatación del tiempo. Y la ecuación es solo la expresión estándar para la dilatación del tiempo en relatividad especial que enseñamos a todos los estudiantes de RS.

El punto de todo esto es que podemos usar exactamente el mismo procedimiento para calcular la dilatación del tiempo en los campos gravitatorios. Tomemos el campo gravitacional de un cuerpo esféricamente simétrico, que viene dado por la métrica de Schwarzschild :

$$c^2d\tau^2 = c^2\left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)dt^2 - \left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1}dr^2 - r^2 (d\theta^2 + sin^2\theta d\phi^2) \tag{3}$$

Esto es muy similar a la ecuación (2) que usamos en el espacio-tiempo plano, excepto que los coeficientes para$dt$etc ahora son funciones de distancia, y hacemos el cálculo exactamente de la misma manera. Comencemos con el cálculo de la dilatación del tiempo para un astronauta estacionario a distancia.$r$. Como el astronauta está estacionario, tenemos$dr = d\theta = d\phi = 0$, y la ecuación (3) se simplifica a:

$$c^2d\tau^2 = c^2\left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)dt^2$$

y esta vez obtenemos:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1-\frac{2GM}{r c^2}} = \sqrt{1-\frac{r_s}{r}} \tag{4}$$

dónde$r_s$es el radio de Schwarzschild. Y eso es todo: calcular la dilatación del tiempo para un observador estacionario en un campo gravitatorio es tan simple como eso. Encontrarás esta expresión en cualquier texto introductorio sobre GR.

Pero el punto real de su pregunta (¡finalmente llegamos a ella!) es ¿qué sucede si nuestro observador en el campo gravitatorio se está moviendo? Bueno, supongamos que se mueven en forma radial; dirección a velocidad$v$, así como en el caso del espacio plano tenemos$dr = vdt$y$d\theta = d\phi = 0$. Sustituimos esto en la ecuación (3) para obtener:

$$c^2d\tau^2 = c^2\left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)dt^2 - \left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1}v^2dt^2$$

que se reorganiza a:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1-\frac{r_s}{r} - \frac{v^2/c^2}{1-\frac{r_s}{r}}} \tag{5}$$

Y una vez más, es tan simple como eso. Si compara este resultado con la ecuación (4), verá que la dilatación del tiempo para un objeto en movimiento es diferente porque tenemos un término adicional$\frac{v^2/c^2}{1-\frac{r_s}{r}}$en la raíz cuadrada.

Una última prueba de cordura: ¿qué sucede si nos alejamos una distancia infinita del objeto gravitante de modo que$r \rightarrow \infty$? Bueno, si$r \rightarrow \infty$entonces$r_s/r \rightarrow 0$y la ecuación (5) se convierte en:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma}$$

que es exactamente lo que calculamos para el espacio-tiempo plano.

Debido a que en la relatividad la simultaneidad es relativa, no hay forma de saber qué objeto experimenta una tasa de tiempo más lenta. Pero si tomas dos caminos que unen dos puntos del espacio-tiempo$A$y$B$, luego puede comparar las tasas de tiempo a lo largo de estas rutas.

No son iguales. Suponga que el primer camino es una geodésica y el segundo no lo es y olvídese por un momento de las cuestiones topológicas globales. Entonces hay un argumento simple: debido a que la ecuación geodésica puede derivarse de la variación de la acción del tiempo propio de la partícula, es menor para la trayectoria$A$que por$B$.