¿Cómo afecta exactamente la gravedad al tiempo? [cerrado]

Solo soy un laico, por lo que esta respuesta probablemente sea muy inexacta desde el punto de vista físico.

En la Relatividad General, en realidad hay 2 ecuaciones diferentes:

1. Cómo la materia (más exactamente, la densidad de energía) y su movimiento afectan la curvatura del espacio-tiempo. Son las ecuaciones de campo de Einstein.
2. Cómo se mueve la materia en el espacio-tiempo curvo. Se mueve sobre geodésicas (si no hay otras, por ejemplo, efectos EM). Geodésico significa que se mueve linealmente, pero en coordenadas curvas.

Combinando los dos, el resultado es cómo la materia afecta el movimiento de la materia. Es como la antigua versión de Newton de la gravedad, pero es mucho más compleja. En la mayoría de los casos es irresoluble analíticamente. En situaciones muy sencillas se pueden resolver con el trabajo de un año de personas con doctorado, siendo principalmente matemáticos y no físicos.

En el GR, la dirección del tiempo se maneja como una cuarta coordenada "espacial", es decir, como si estuviéramos en un mundo 4D donde el tiempo es la cuarta dirección. Por supuesto, la coordenada temporal tiene diferencias significativas con las espaciales: por ejemplo, es unidireccional y es como si todo se moviera con (casi)$c$a la dirección del tiempo.

Hay imágenes muy populares en todas partes en la red, como esta:

Esta ilustración gráfica muestra una curvatura en coordenadas espaciales.

Lo que sucede aquí: en la imagen, la luz se mueve siempre linealmente. No cambia su dirección. Pero sucede en el espacio-tiempo curvo, lo que da como resultado que sus coordenadas se conviertan en otras: su dirección "x" original se mezcla un poco y después de moverse al lado del Sol, finalmente sale con un poco de "y"- movimiento direccional también.

Lo que no está en esta imagen: también ocurre un cambio similar con las coordenadas de tiempo. Como mencioné anteriormente, la coordenada de tiempo es como si todo se moviera con casi$c$en su dirección. Este movimiento se convierte en un movimiento en una coordenada espacial.

El resultado es que su tiempo será más lento y un observador externo verá que la masa se acelera. En el espacio-tiempo alrededor de una masa puntual, esta aceleración (en el espacio) ocurrirá hacia la masa puntual. Pero también hay casos más complejos (por ejemplo, arrastre de cuadros ).

La gravedad está dilatando el tiempo propio de un objeto según lo observado por un observador. Que significa exactamente?

Desde el punto de vista del objeto que se acerca a un campo de gravedad (o de la persona que podrías ser tú), el propio reloj funciona normalmente. Pero puedes observar que las cosas fuera del campo de gravedad (por ejemplo, las estrellas) se mueven cada vez más rápido.

Desde el punto de vista de un observador externo, su reloj se está moviendo más lento y usted está envejeciendo más lento (paradoja de los gemelos).

Cuantitativamente, la ecuación de la dilatación del tiempo gravitacional (la llamo$C$) es:

$$C = \frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \frac{2GM}{c^2 r}}$$ desde el punto de vista de un observador lejano fuera del campo de gravedad.

La solución de Schwarzschild de la ecuación de campo muestra el efecto de la gravitación: La métrica de Schwarzschild es

$$ds^2 = -(1 - \frac{2GM}{c^2 r}) c^2 dt^2 + \frac{1}{1 - \frac{2GM}{c^2 r} } dr^2 + r^2 (d\Theta^2 + sin^2 \Theta d\Phi^2)$$ describir el espacio-tiempo curvo. Descubrimos que podemos insertar la dilatación del tiempo anterior $C$, y obtenemos: $$ds^2 = -c^2 (Cdt)^2 + (\frac{dr }{C})^2 + r^2 (d\Theta^2 + sin^2 \Theta d\Phi^2)$$ Ahora comparamos esta ecuación para el espacio-tiempo curvo con la ecuación para el espacio-tiempo plano (espacio de Minkowski) $$ds^2 = - c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$ que está en coordenadas radiales $$ds^2 = - c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 (d\Theta^2 + sin^2 \Theta d\Phi^2)$$

y vemos que la única diferencia entre el espacio-tiempo plano y el curvo es el factor de dilatación del tiempo$C$.

Ahora, tomemos un ejemplo: para simplificar, imaginamos un movimiento radial a velocidad constante, un objeto que se acerca radialmente a una fuente de gravedad desde el punto$A$apuntar$B$. El desplazamiento espacial es$dr$y el tiempo requerido es$dt$(ambos observados por un observador lejano.$ds$es el intervalo de espacio-tiempo correspondiente al tiempo propio del reloj del objeto (multiplicado por la velocidad de la luz$c$)

Descubrimos que los efectos del espacio-tiempo curvo de la gravedad están completamente descritos por la dilatación del tiempo.$C$en un espacio plano en su lugar. Por un lado, el tiempo$dt$se multiplica por el factor de dilatación del tiempo, por otro lado, el desplazamiento$dr$se divide por el factor de dilatación del tiempo. Tanto la multiplicación del tiempo como la división del desplazamiento espacial inciden en$ds$de la métrica de Schwarzschild que corresponde al reloj del objeto observado.

Entonces, la respuesta a la pregunta "¿Cómo afecta la gravedad al tiempo?" es que la gravedad (y el espacio-tiempo curvo) es la dilatación del tiempo, y nada más. El espacio-tiempo curvo y la dilatación del tiempo gravitacional en el espacio-tiempo plano son dos modelos equivalentes para la gravedad.