Aceleración por gravedad: caída libre [duplicado]

Hace dos suposiciones incorrectas en su pregunta, a saber, que si un objeto está acelerando, la velocidad seguiría aumentando hasta el infinito sin límite, y que la aceleración debida a la gravedad en la Tierra siempre es$9.8 m/s^2$ambos no son el caso.

Primero de. La teoría de la relatividad no permite que los objetos que tienen masa vayan más rápido que la velocidad de la luz. Puede (informalmente) ver esto mediante la siguiente ecuación.

Dónde$m_0$es la masa del objeto para un observador en reposo con respecto al objeto,$v$es la velocidad del objeto y$c$es la velocidad de la luz en el vacío. Cuando el objeto alcanzaría la velocidad de la luz$c$el numerador se convierte en cero y la masa se volvería infinitamente grande, y por lo tanto requeriría una cantidad infinita de fuerza para acelerarla. También tendría una cantidad infinita de energía cinética ($1/2mv^2$), que espero que entiendas que no es posible.

En segundo lugar, la velocidad a la que los objetos aceleran hacia la tierra o caen hacia cualquier objeto en general no es una constante. La fórmula clásica para la aceleración gravitatoria$g$es el siguiente.

Espero que esto responda un poco a tu pregunta.

Sin invocar la relatividad, echemos un vistazo a la energía. La fuerza de gravedad entre dos objetos va como

Lo que implica que la fuerza es más débil cuando estás lejos y más fuerte cuando te acercas. la energía potencial es la integral de la fuerza, y sabemos que la suma de la energía potencial y cinética es constante. Poniendo la energía potencial = 0 en el infinito, podemos resolver la velocidad de un objeto que cae desde muy lejos a una distancia$r$:

Si ahora pones$\frac{GM}{r^2}=g$y$r=6400 km$obtienes la velocidad de un objeto que cae a la tierra "desde el infinito" - es

Cuál es la velocidad de escape de la tierra. Clásicamente, eso es lo más rápido que puede caer un objeto debido a la gravedad de la tierra, muy por debajo de la velocidad de la luz. Los efectos de la relatividad son bastante pequeños a estas velocidades.

¿Cuánto más masivo tendría que ser un objeto para romper la barrera de la velocidad de la luz? Usando la ecuación anterior, si pudiéramos hacer que la tierra fuera más densa, podrías seguir cayendo; efectivamente$g$en la superficie sería mayor. Ahora, para llegar a la velocidad de la luz, tendrías que encoger bastante la tierra:

$r_{new}=\left(\frac{v_escape}{c}\right)^2 r_e = 9 mm$

Si pudieras comprimir toda la materia de la tierra en una esfera de 9 mm de radio y caer a esta esfera desde una gran altura, tendrías que considerar los efectos relativistas. Pero creo que estamos a salvo en el reino clásico para otro día.

La respuesta corta es: en los pozos de gravedad ultra profundos, uno tiene que traer consideraciones relativistas a la imagen. El resultado de esto es que se forma un 'horizonte de eventos' en pozos de gravedad ultraprofundos, de modo que un observador que mire desde la distancia en el pozo de gravedad solo puede mirar hasta una profundidad finita. En términos generales, esa profundidad finita específica corresponde a la profundidad a la que los objetos que caen alcanzan la velocidad de la luz.