¿Se puede resolver una función de onda con cualquier precisión arbitraria, con suficiente tiempo de computadora?

Aprendí que la función de onda para el átomo de hidrógeno se puede resolver analíticamente (hicimos la derivación en clase), pero que para átomos más complicados es "imposible" de resolver y que solo se pueden obtener aproximaciones.

Bueno, no estoy seguro de que me guste la vaga redacción de "imposible".

Básicamente, un átomo de hidrógeno se puede resolver en términos de funciones elementales. Las funciones elementales, hasta donde yo sé, se definen arbitrariamente (¿Es ¿uno? Qué pasa erfc ?). Por ejemplo, podría decir que pecado ⁡ X no se puede resolver exactamente excepto en algunos casos especiales (x = algunos múltiplos racionales de π ).

Para hacer una analogía, una ecuación quíntica general no se puede "resolver" exactamente usando funciones elementales, es decir, a menos que defina un radical Bring como una nueva función elemental. Para mí, es realmente arbitrario y todas estas soluciones se reducen a un refinamiento numérico e iterativo. Resuelto exactamente vs resuelto aproximadamente parece ser un concepto mal definido.

Entonces, lo que estoy preguntando, con suficiente tiempo de computadora, ¿puedo resolver la ecuación de Schrödinger de, digamos, litio, con la precisión que desee? Tanto como puedo resolver pecado ⁡ X a la cantidad de lugares decimales que quiero? ¿ O hay algún otro límite para tal cálculo?

Respuestas (3)

Tiene razón sobre los resultados exactos, estos dependen de su definición de "exacto". La mejor definición de un exacto es si tiene un algoritmo rápido para calcular el resultado en un tiempo razonable. Cuanto más rápido sea el algoritmo, más exacto será el resultado.

Para los átomos de helio, la respuesta es sí; puede usar el método variacional para producir un resultado con la precisión que desee, en poco tiempo. Incluso puedes hacer las primeras aproximaciones con lápiz y papel. Excepto por el lápiz y el papel, esto también es cierto para Li, Be, B, C, tal vez tan alto como Ne.

Pero para átomos como el hierro, tienes otro problema: el espacio de todas las funciones de onda está creciendo exponencialmente. Esto significa que describir los niveles de energía del átomo con todos sus entrelazamientos entre partículas en algún estado altamente excitado es muy, muy difícil. No se puede resolver en general, porque resolver el sistema cuántico general incluye computación cuántica, que puede resolver algunas cosas, como factorizar números enteros, que es muy poco probable que tengan un algoritmo clásico eficiente.

Pero para calcular la función de onda del estado fundamental de los fermiones y los niveles cercanos al estado fundamental, tiene dos métodos que son prácticos:

  • Hartree Fock --- esto supone que los electrones se mueven en un potencial que es el potencial nuclear y un potencial central debido a los otros electrones. Este es un método consistente en sí mismo y es lo suficientemente bueno para la física atómica práctica.
  • Teoría funcional de la densidad --- aquí intenta repararmetrizar la función de onda del estado fundamental en términos de una función tridimensional que representa la densidad de electrones, y utiliza trucos para descubrir los detalles de los enredos electrónicos en la medida en que sean necesarios.

Ambos métodos son mejores para los estados fundamentales y las propiedades del estado casi fundamental. En general, los recursos que necesita crecen exponencialmente en la cantidad de electrones, pero estos métodos son prácticos para casi todos los átomos y moléculas que encontrará, y pueden refinarse mediante aproximaciones de orden superior (aunque esto es más práctico para DFT).

El problema del estado fundamental bosónico es muy simple en comparación con el problema de los electrones sobre el que está preguntando, y solo requiere monte-carlo en la versión de tiempo imaginario. Así es como se simulan los campos cuánticos.

Permítanme adoptar una perspectiva ligeramente diferente a la de Ron Maimon y decir que la respuesta depende de si busca una solución exacta de algún modelo matemático o si desea calcular el comportamiento físico exacto.

Cualquier método para calcular las propiedades físicas de un sistema se basa en una aproximación. Si elige algún modelo, ciertamente puede (en principio) hacer su cálculo con una precisión arbitraria, pero este es un cálculo exacto del modelo y no de la realidad. Notoriamente, el cálculo más exacto que hemos hecho es el de la relación giromagnética de electrones , gramo . Sin embargo, se cree (no probado hasta donde yo sé) que los métodos de perturbación utilizados eventualmente divergen, por lo que incluso una computadora arbitrariamente poderosa no puede calcular gramo a cualquier precisión. Para mejorar la precisión del cálculo se requeriría un modelo matemático mejorado de la física y, que yo sepa, tal modelo no existe en la actualidad.

Pero debo enfatizar que, aunque diría que la respuesta a su pregunta es que no, no podemos calcular con una precisión arbitraria, este es un punto de vista un tanto pedante ya que, en principio, podemos calcular con una precisión mejor de lo que probablemente lo haríamos. medida.

Tu pregunta original es ambigua. Los métodos numéricos también tienen requisitos de memoria. Si la memoria de su computadora no es suficiente para almacenar la solución, entonces no importa cuánto tiempo espere la solución numérica: el algoritmo fallará con algún error de falta de memoria.

Ese no es el problema con QM --- la memoria no es un problema, el tiempo de ejecución sí lo es. Los teóricos de la complejidad dicen esto diciendo que BQP está dentro de PSPACE, aunque no dentro de P, lo que significa que puede simular la mecánica cuántica con una cantidad polinomial de memoria, pero con un número exponencial de pasos.
Ron, los errores de falta de memoria son bastante comunes en el software de química cuántica, incluso para sistemas pequeños y ejecuciones de precisión no demasiado grandes. No hay suficiente memoria en nuestro planeta para cálculos de precisión arbitraria en grandes sistemas cuánticos.
Hubo un problema con el comentario anterior: @RonMaimon, los errores de falta de memoria son bastante comunes en el software de química cuántica, incluso para sistemas pequeños y ejecuciones de precisión no demasiado alta. Ver Biowulf and Chemistry High Performance Computing . No hay suficiente memoria en nuestro planeta para cálculos arbitrarios de precisión en grandes sistemas cuánticos, incluso si tiene la eternidad para esperar, nunca verá la solución porque el algoritmo se rompe.
Esto probablemente sea cierto en la práctica, pero la cantidad de memoria requerida solo se escala linealmente con el tamaño del sistema para DFT, no creo que necesite mucha memoria ni demasiado tiempo de ejecución para el método Car-Parinello, que no es precisión arbitraria, ya que usa Hartree Fock en los electrones de la capa interna, pero lo suficientemente bueno para toda la química habitual.
@RonMaimon: Hoy en día, todos los programas SCF, DFT y MP2 de la competencia suelen utilizar métodos integrales directos para conjuntos de base grandes (esos métodos se desarrollaron para superar el cuello de botella del almacenamiento integral). Como se explica aquí, " el tamaño de la memoria de la función de onda suele ser el factor limitante en los cálculos de Car-Parrinello ". Si elige un sistema cuántico lo suficientemente grande, entonces, como se dijo antes, " no hay suficiente memoria en nuestro planeta para cálculos arbitrarios de precisión " y la eternidad no es el problema.
¿Se puede resolver una función de onda con cualquier precisión arbitraria, con suficiente tiempo de computadora?
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