Obtención del coeficiente de transmisión del haz sobre un potencial lineal

Me gustaría determinar el coeficiente de transmisión.$\mathcal{T}$para un haz de partículas

$$\Psi(x,t) = A_o e^{ikx}e^\frac{-iE_ot}{\hbar}$$ con energia $$E = \frac{\hbar^2k^2}{2m}$$ incidente sobre un potencial lineal negativo (ver diagrama; pido disculpas por su crudeza, lo hice yo mismo) definido por:

$$V(x) = \begin{cases} \quad 0 &\text{for $x<0$}\\ -|V_o|(x/L) &\text{for $0<x<L$}\\ -|V_o| &\text{for $x>L$} \end{cases}$$

El coeficiente de transmisión$\mathcal{T}$se encuentra haciendo uso de la corriente de densidad de probabilidad$J$como:

$$\mathcal{T} = \frac{|J_{trans}|}{|J_{inc}|}$$

dónde$|J_{trans}|$y$|J_{inc}|$son las corrientes de probabilidad transmitida e incidente. corriente de probabilidad$J$se puede obtener por:

$$J = \frac{i\hbar}{2m}\{\Psi(x,t) \frac{\partial}{\partial x}(\Psi^*(x,t))-\Psi^*(x,t)\frac{\partial}{\partial x}(\Psi(x,t))\}$$

Entonces, para el caso de un potencial reductor único (línea verde en el diagrama), podemos resolver el TISE en cada región y emplear condiciones de contorno para resolver los coeficientes y la dependencia de$k_1$y$k_2$, que representan haces incidentes/reflejados o haces transmitidos respectivamente. Deje que la ubicación del paso único sea en$x=0$en vez de$L/2$se muestra en el diagrama.

$$\psi(x) = \begin{cases} A_oe^{ik_1x} + Be^{-ik_1x}&\text{for $x<0$}\\ Ce^{ik_2x}+De^{-ik_2x} &\text{for $x>0$} \end{cases}$$ dónde $$(k_2)^2 = \frac{2m}{\hbar^2}(E+|V_o|)$$

$A_o$representa el haz incidente,$B$representa el haz reflejado, y$C$representa el haz transmitido, y$D=0$. Al imponer condiciones de contorno, requerimos la función de onda$\psi$y su derivado$\frac{d\psi}{dx}$ser continuo en$x=0$, lo que lleva a:

$$A_o + B = C$$ y $$ik_1(A_o-B) = ik_2C$$

Las condiciones anteriores nos permiten determinar coeficientes$B$y$C$en términos de nuestro conocido$A_o$:

$$B = \frac{A_o(k_1-k_2)}{k_1+k_2}$$ $$C = \frac{A_o2k_1}{k_1+k_2}$$

Notando que la parte temporal de$\Psi(x,t)$va a cero en la ecuación para$J$, usamos$\psi(x) = A_o e^{ikx}$para encontrar la corriente de probabilidad del haz incidente,$J_{inc}$

$$J_{inc} = \frac{i\hbar}{2m}\{A_o e^{ik_1x}(- A_oik e^{-ik_1x})-A_o e^{-ik_1x} A_oik e^{ik_1x}\}$$

$$= \frac{-2i^2|A_o|^2\hbar k_1}{2m}$$

$$J_{inc} = |A_o|^2 \frac{\hbar k_1}{m}$$

Como consecuencia,$J_{refl}$y$J_{trans}$están dadas de manera similar por:

$$J_{refl} = -|B|^2\frac{\hbar k_1}{m}$$ $$J_{trans} = |C|^2\frac{\hbar k_2}{m} = (\frac{A_o2k_1}{k_1+k_2})^2 \frac{\hbar k_2}{m}$$

Finalmente, el coeficiente de transmisión$\mathcal{T}$puede ser encontrado por

$$\mathcal{T} = \frac{|J_{trans}|}{|J_{inc}|} = \frac{(\frac{A_o2k_1}{k_1+k_2})^2k_2}{|A_o|^2 k_1} = \frac{4k_1k_2}{(k_1+k_2)^2}$$

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Pido disculpas por la extensión hasta este punto, pero ahora me pregunto si puedo estimar un coeficiente de transmisión$\mathcal{T}$para un potencial lineal (con$E>0$) así en el diagrama usando múltiples potenciales de paso a lo largo de la longitud$L$. El potencial de un solo paso no es una buena aproximación porque no hay$L$dependencia. Ahora, si examino el potencial dado por la línea roja en el diagrama, obtengo

$$V(x) = \begin{cases} \quad 0 &\text{for $x<0$}\\ -|V_o|/3 &\text{for $0<x<L/3$}\\ -2|V_o|/3 &\text{for $L/3<x<2L/3$}\\ -|V_o| &\text{for $2L/3<x<L$, $x>L$}\\ \end{cases}$$

Ahora bien, si impongo condiciones de contorno en$\psi$y$\frac{d\psi}{dx}$en cada una de las funciones reductoras, esencialmente estoy repitiendo lo que se muestra arriba, pero tres veces, con tres haces de transmisión diferentes, y ver cómo cambia el coeficiente de transmisión entre cada región me permitirá encontrar una expresión para el coeficiente de transmisión en sí.

¿Hay alguna forma más fácil de hacer esto? Obviamente, si modelara un número infinito de potenciales escalonados rompiendo$L$y$V_o$en infinitas partes, esto daría una aproximación ideal para$\mathcal{T}$. ¿Hay alguna manera de hacer esto matemáticamente/numéricamente, incluso gráficamente?