¿Restricciones en los valores iniciales para las primeras derivadas de una función de onda, para un estado límite en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo?

Question

¿Restricciones en los valores iniciales para las primeras derivadas de una función de onda, para un estado límite en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo?

anders gustafson

La función de onda independiente del tiempo para un estado ligado dada alguna función potencial $V(r)$ viene dada por la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

mi Ψ = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} (\frac{\partial^{2} Ψ}{\partial X^{2}} + \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial z^{2}}) + V Ψ

$E\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial{z^2}}\right)+V\Psi$

Un ejemplo de una función de onda que está en un estado ligado sería la función de onda de un electrón en un átomo de hidrógeno. Para el átomo de hidrógeno cuando $l$ y $m$ son ambos $0$ la función de onda es esféricamente simétrica, y para una función de onda esféricamente simétrica en un estado límite, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se reduce a

mi Ψ = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} (\frac{\partial^{2} Ψ}{\partial r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{\partial Ψ}{\partial r}) + V Ψ

$E\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial{r^2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial\Psi}{\partial{r}}\right)+V\Psi$

y para una ecuación diferencial de segundo orden se necesita el valor inicial de una función y el valor inicial de la derivada de funciones para una solución única a la ecuación diferencial. En el caso de una función de onda esféricamente simétrica, un requisito adicional para seguir la ecuación de Schrödinger es que la integral del cuadrado de la función de onda de $0$ a $\infty$ debe ser finito, distinto de cero y converger. Esto impone restricciones a los valores iniciales de $\frac{\partial\Psi}{\partial{r}}$ ya que no todos los valores iniciales satisfarán la segunda condición dado el valor inicial de $\Psi$ .

En el caso del electrón en un átomo de hidrógeno $V\propto\frac{1}{r}$ y existen soluciones analíticas para la función de onda de un electrón en un átomo de hidrógeno.

Para la mayoría de las funciones potenciales $V(r)$ no hay soluciones analíticas para la función de onda, y tampoco soluciones analíticas para encontrar los niveles de energía. Esto significa que, en general, la función de onda debe modelarse numéricamente y los niveles de energía también deben aproximarse numéricamente.

Entiendo que en el caso de un átomo de hidrógeno $\frac{\partial\Psi}{\partial{r}}$ no es $0$ , y para el estado fundamental no hay ubicación, en la que sería $0$ , pero para $n>1$ hay puntos, hay valores de $r$ , para cual $\frac{\partial\Psi}{\partial{r}}=0$ .

Cuando la función de onda para un estado límite no se puede encontrar analíticamente, ¿puede el valor para $\frac{\partial\Psi}{\partial{r}}$ en $r=0$ , o los valores de $r$ en el cual $\frac{\partial\Psi}{\partial{r}}=0$ se encuentra analíticamente? De no ser así, ¿aproximar estos valores sería similar a aproximar los valores de los niveles de energía?

G. Smith

El laplaciano de

Ψ (r)

$\Psi(r)$ en coordenadas esféricas no es

d^{2} Ψ / d r^{2}

$d^2\Psi/dr^2$ .

anders gustafson

@ G.Smith Gracias por señalarlo. Me di cuenta de que en coordenadas cartesianas, para la parte de la función de onda a lo largo del eje x, las segundas derivadas de la función de onda en términos de y y z no son

0

$0$ , lo que significa que mi laplaciano estaba equivocado. Cambié a coordenadas cartesianas, tomé la segunda derivada de la ecuación de un cono con respecto a x, establecí y y z en

0

$0$ , y cambió de nuevo a coordenadas esféricas para derivar la otra parte del laplaciano. Edité la segunda ecuación, por lo que ahora debería tener la forma correcta del laplaciano para el caso especial de simetría esférica.

G. Smith

Sí, eso parece correcto ahora. Puedes compararlo con Wikipedia .

Respuestas (1)

¿Restricciones en los valores iniciales para las primeras derivadas de una función de onda, para un estado límite en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo?

El laplaciano de $\Psi(r)$ en coordenadas esféricas no es $d^2\Psi/dr^2$ .
@ G.Smith Gracias por señalarlo. Me di cuenta de que en coordenadas cartesianas, para la parte de la función de onda a lo largo del eje x, las segundas derivadas de la función de onda en términos de y y z no son $0$ , lo que significa que mi laplaciano estaba equivocado. Cambié a coordenadas cartesianas, tomé la segunda derivada de la ecuación de un cono con respecto a x, establecí y y z en $0$ , y cambió de nuevo a coordenadas esféricas para derivar la otra parte del laplaciano. Edité la segunda ecuación, por lo que ahora debería tener la forma correcta del laplaciano para el caso especial de simetría esférica.
Sí, eso parece correcto ahora. Puedes compararlo con Wikipedia .

ZeroTheHero · Answer 1

Por lo general, los BC no están en la derivada de $\psi$ pero en $\psi$ sí mismo. para el hidrógeno, $\lim_{r\to 0}r^2 \psi^2(r)\to 0$ y $\lim_{r\to\infty}\psi(r)\to 0$ . El problema densidad debe tener un nodo en $r=0$ por continuidad desde $r<0$ no es físico.

En la práctica la condición $\psi(r)\to 0$ como $r\to \infty$ es muy difícil de implementar numéricamente debido a errores de redondeo (inevitables): la cuantificación ocurre porque el valor propio es exacto , de lo contrario, la serie para la ecuación diferencial no se trunca exactamente y eventualmente diverge. Por lo tanto, las soluciones son extremadamente sensibles a la energía estimada y la precisión del esquema de integración: incluso la energía estimada dentro del 0,1% del valor real eventualmente producirá divergencias. En la práctica, uno elige algún valor "razonablemente lejano" de $r$ y busca soluciones no divergentes hasta ese punto. Es un poco un arte.

Si tengo una energía supuesta ligeramente superior a la energía real y otra ligeramente inferior a la energía real, ¿la forma en que las funciones de onda para las dos energías supuestas son siempre opuestas? Quiero decir que siempre ocurre que en un caso diverge a $+\infty$ y en el otro $-\infty$ ?
Esa es una hipótesis interesante, pero nunca he investigado esto sistemáticamente. También puede depender del tamaño del paso.
También me preguntaba si la función de onda simulada tarda mucho en divergir, ¿es eso necesariamente una señal de estar cerca de la energía real?
Esto es ciertamente cierto si por "mucho tiempo" se refiere a valores más grandes de $r$ .

¿Restricciones en los valores iniciales para las primeras derivadas de una función de onda, para un estado límite en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo?

anders gustafson

G. Smith

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G. Smith

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anders gustafson

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