Resolviendo la ecuación de Schrödinger para un pozo de potencial infinito con un obstáculo (Numérico/Analítico)

Question

Resolviendo la ecuación de Schrödinger para un pozo de potencial infinito con un obstáculo (Numérico/Analítico)

Alireza

Soy un principiante tanto en mecánica cuántica como en física computacional, así que sea lo más simple posible. Sé que estos temas pueden volverse tan complicados.

He estado tratando de resolver la ecuación de Schrödinger para un pozo de potencial infinito con un obstáculo en su sección central. Aquí está mi potencial como una función de x:

Escribí un programa para resolver esta ecuación numéricamente y primero lo probé con un pozo de potencial ordinario y obtuve resultados correctos con una tolerancia de 0.0001. Luego agregó potencial y aumentó $a$ por un paso fijo cada vez y calculado $\Psi$ para el estado de energía más bajo (estado fundamental) y trazó la función de onda ( $\Psi$ ) contra $x$ . Aquí están los resultados (tenga en cuenta que $a$ ha aumentado en un paso fijo cada vez):

Noté que el primer nivel de energía y el segundo se acercaban cada vez más. Por ejemplo en psi680, en unidades adimensionales, $E_0$ es igual a $71.166$ y $E_1$ es $71.180$ (entonces $E_1-E_0=0.014$ ).

Tengo curiosidad por saber dónde se fusionan en uno. No pude resolver esto numéricamente debido al método que usé para encontrar valores propios de energía y, por supuesto, la precisión de mi código.

Me pregunto si hay una forma analítica de predecir esto.
Otra pregunta sería ¿en qué punto esta sección central se convierte en una pared infinita? (¿Dónde estará el $\Psi$ ser igual a cero en $x=0.5$ en esta función potencial particular?)
Cualquier otra ayuda sobre este problema sería muy apreciada.

jerbo sammy

-1. ¿Has intentado resolver analíticamente?

Cosmas Zachos

Gilbert y otros, EurJPhys 26 (2005) 815–825 .

Respuestas (2)

Resolviendo la ecuación de Schrödinger para un pozo de potencial infinito con un obstáculo (Numérico/Analítico)

Emilio Pisanty · Answer 1

Sí, su modelo se puede resolver por completo de forma analítica, aunque en realidad encontrar el espectro puede implicar la solución numérica de una ecuación trascendental. Esto se hace explícitamente en varios libros de texto introductorios de QM, pero en esencia todo lo que necesita hacer es resolver localmente para cada región (lo que le da senos y cosenos, o exponenciales) y luego unir las soluciones exigiendo la continuidad de la función de onda y su derivada.

En esencia, como $a$ se vuelve más grande que la energía del estado fundamental, termina resolviendo dos pozos débilmente acoplados, con estados fundamentales aproximadamente independientes; la tierra del pozo global y el primer estado excitado se convierten en combinaciones lineales pares e impares de los dos estados fundamentales individuales, con una división de energía que depende del acoplamiento entre los dos pozos.

Con respecto a tus otros puntos,

Otro sería ¿en qué punto esta sección media se convierte en una pared infinita?

Cuando el bit medio sube al infinito.

¿Dónde será el Ψ igual a cero en x=0.5 en esta función de potencial en particular?

Cuando el bit medio sube al infinito. El estado fundamental nunca es cero allí (aunque decae exponencialmente en $a$ ); el primer estado excitado es idénticamente cero en el medio.

ZeroTheHero · Answer 2

Por supuesto que hay una forma analítica.

Paso 1. Divida el potencial en tres regiones de la manera obvia.
Paso 2. Suponga que la solución tiene energía. $E<E_{barrier}$ y escribe $ψ (X) = {\begin{cases} A pecado (k X) & en la región I, \\ B {mi}^{k X} + C {mi}^{- k X} & en la región II, \\ D pecado (k (X - L)) & en la región III. \end{cases}$ $\psi(x)=\left\{\begin{array}{ll} A\sin(kx)& \hbox{in region I,}\\ Be^{\kappa x}+Ce^{-\kappa x}&\hbox{in region II,}\\ D\sin(k(x-L))&\hbox{in region III.}\end{array}\right.$
Suponga que la solución tiene energía. $E>E_{barrier}$ y escribe $ψ (X) = {\begin{cases} A pecado (k X) & en la región I, \\ B porque (k^{'} X) + C pecado (k^{'} X) & en la región II, \\ D pecado (k (X - L)) & en la región III. \end{cases}$ $\psi(x)=\left\{\begin{array}{ll} A\sin(kx)& \hbox{in region I,}\\ B\cos(k'x)+C\sin(k'x)&\hbox{in region II,}\\ D\sin(k(x-L))&\hbox{in region III.}\end{array}\right.$

En los pasos 2 y 3 obtienes la cuantificación haciendo coincidir los coeficientes usando las condiciones de contorno y encontrando la energía resolviendo una ecuación trascendental.

Resolviendo la ecuación de Schrödinger para un pozo de potencial infinito con un obstáculo (Numérico/Analítico)

Alireza

jerbo sammy

Cosmas Zachos

Respuestas (2)

Emilio Pisanty

ZeroTheHero

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