Simulación numérica del experimento de doble rendija que incluye observar los electrones

Extraeré mis comentarios del hilo de comentarios ( ahora migrado ), ya que esto aún no se ha abordado adecuadamente. Para responder a su pregunta principal,

¿Se ha simulado este "experimento mental" resolviendo numéricamente la ecuación de Schrödinger subyacente?

Yo diría:

• la simulación precisa que propone (o variaciones cercanas de la misma) probablemente se haya realizado en algún momento (probablemente en varios puntos, por varias personas);
• probablemente no ha sido publicado;
• si se publicó, no será un artículo particularmente interesante; y
• si no ha sido publicado, es una montaña de una tarea para mostrar de manera creíble que no existe tal artículo en la literatura.

Ahora, la razón de lo anterior es que la simulación que propones no es muy interesante . Tu dices eso

Su interés podría ser, en particular, comprender mejor de qué manera precisa la observación se vuelve progresivamente inoperante cuando aumenta la longitud de onda del fotón.

pero no es así: todo lo que nos podría mostrar tal simulación, ya lo entendemos .

Está bien entendido, desde los días de von Neumann, que dentro de la mecánica cuántica unitaria formal, el efecto de las mediciones es causar entrelazamiento: si el sistema está en una superposición de$|A=1\rangle$y$|A=2\rangle$, di, y mides$\hat A$, con algún detector que va a$\left|\uparrow\right>$en$A=1$y para$\left|\downarrow\right>$en$A=2$, lo que realmente estás generando es la superposición

$$|\Psi\rangle = \alpha \left|A=1\right>\left|\uparrow\right> + \beta \left|A=2\right>\left|\downarrow\right>,$$ es decir, un estado entrelazado entre el sistema y el detector. Este estado ya no puede mostrar interferencia, porque si toma el producto interno entre los dos componentes, es decir, si lo hace $$\bigg< \left|A=1\right>\left|\uparrow\right> ,\, \left|A=2\right>\left|\downarrow\right> \bigg> = \left<A=1|A=2\right> \left<\uparrow\middle|\downarrow\right> = 0$$ obtienes cero, porque los estados del detector son ortogonales. Esto elimina por completo cualquier posibilidad de interferencia, pero la función de onda no se ha "colapsado" (todavía); si realiza una medición proyectiva en el detector (forzando su función de onda a "colapsar", lo que sea que eso signifique), eso también se extiende al sistema, pero eso es externo a la simulación.

Permítame reiterar el punto: cualquier cosa que pueda simular, manteniendo la mecánica cuántica unitaria, encajaría completamente dentro del esquema anterior, y no contribuiría a nuestra comprensión del experimento mental.

Si desea que su simulación incluya alguna forma de "colapso" de función de onda (o decoherencia o como quiera llamarlo), es decir, si desea que su simulación realmente diga algo útil sobre el problema de medición, entonces necesitará para decidir cómo maneja la información codificada en su detector de dirección, y aquí es donde su esquema falla: para simular cualquier cosa, esencialmente necesita preparar previamente alguna resolución del problema de medición en su simulación. Cualesquiera que sean los resultados que obtenga, serán solo una reafirmación de las premisas con las que alimentó, y estarán sujetos a todos los defectos de las premisas.

Dado esto, todo lo que proporcionaría una simulación de este tipo es una ayuda de visualización muy costosa para procesos que ya pueden entenderse analíticamente, y para los cuales la principal dificultad es conceptual. La creación de ayudas de visualización no carece de mérito, pero esta ofrecería muy poco para la resolución de los verdaderos problemas conceptuales del problema de la medición, que tienen mucho más que ver con lo que significan las mediciones proyectivas que con los fotones y las dobles rendijas.

La pérdida de interferencia no se debe al colapso porque el colapso es un mito.

La pérdida de interferencia se puede simular mediante modelos mecánicos cuánticos que incluyen la interacción que transfiere información sobre el sistema medido, lo que provoca la decoherencia. Estos documentos no tratan específicamente sobre la decoherencia en los electrones, sino sobre la decoherencia en experimentos generales de tipo doble rendija.

https://arxiv.org/abs/1606.09442

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0310095

Hay trabajos sobre la dehoherencia de electrones específicamente en interferómetros electrónicos Mach-Zehnder. Estos son un par de muestras de una literatura muy grande sobre el tema:

https://arxiv.org/abs/0801.2338

https://arxiv.org/abs/1105.2587

El efecto que describe Feynman no se calcula utilizando la ecuación de Schrödinger. En cambio, es el resultado del "colapso de la función de onda", que es el resultado de la medición de la posición del electrón. El colapso es un postulado separado que no puede derivarse de la ecuación de Schrödinger. Esta es la interpretación estándar de Copenhague de todos modos.

Everett, en su artículo "Relative State", demostró que, de hecho, se puede derivar de la ecuación de Schrödinger, aunque debe incluir al observador en su ecuación de onda. Esto lleva a la interpretación de muchos mundos de la mecánica cuántica.

De lo que Feynman está hablando aquí es del colapso de la función de onda que ocurre debido a la medición.

Suponga que dispara una corriente de electrones en una placa con dos rendijas pero no observa por qué rendija pasa cada electrón. En esta situación, se dice que cada electrón pasa a través de la rendija superior y la rendija inferior, lo que da como resultado el patrón de interferencia en la pantalla.

Ahora, digamos que observas la trayectoria de cada electrón sin alterar su estado (lo cual es imposible, pero ten paciencia conmigo aquí). En este caso, puede decir con precisión qué electrón pasó por cuál de las rendijas y puede observar dos pilas de electrones en la pantalla.

Entonces, llegué unos 6 años tarde al golpe, pero aquí hay una configuración de experimento computacional. Me gustaría codificar esto algún día cuando tenga suficiente tiempo, es bastante factible.

Teoría

Tienes dos espacios de Hilbert, uno cuyos elementos son las funciones de onda habituales$\psi(x,y)\in\mathcal{H}_x$, y uno que es su detector que dice si una partícula pasó a través de una rendija izquierda o derecha. Digamos que su detector comienza en el estado$(|L\rangle+|R\rangle)/\sqrt{2}$: una superposición del 50% de las rendijas izquierda y derecha. Denotaré este espacio de Hilbert$\mathcal{H}_d=\operatorname{span}(|L\rangle,|R\rangle)$

El espacio del producto tensorial de la partícula y el detector se describirá mediante una función$\psi(x,y,d)$dónde$d$es uno de$L$o$R$. Entonces, por ejemplo, si tuviéramos nuestro paquete de ondas inicial de nuestro electrón como$\psi_0(x,y)$y el estado del detector 50/50 anterior, nuestra función de onda completa inicial sería$\psi(x,y,L)=\frac{1}{\sqrt{2}}\psi_0(x,y)$y$\psi(x,y,R)=\frac{1}{\sqrt{2}}\psi_0(x,y)$.

Para el hamiltoniano, la barrera de potencial actúa como un potencial sobre$\mathcal{H}_x$y como identidad en$\mathcal{H}_d$. Así que tenemos un$V(x,y)$que es infinito excepto por dos bloques recortados: las rendijas. Escribiré la identidad en$\mathcal{H}_d$como$\mathbf{1}_d$.

Para modelar la detección de partículas, puede tener una función de prueba$h(x,y)$cual es$1$dentro de la rendija izquierda,$-1$dentro de la ranura derecha, y$0$en otra parte. Si se detecta una partícula, queremos mover la amplitud para la detección al estado correcto$|L\rangle$o$|R\rangle$, por lo que deberíamos agregar un término algo así como el Pauli$\sigma_y$matriz*. El hamiltoniano completo se verá así:

$$H=(p_x^2+p_y^2+V(x,y))\otimes \mathbf{1}_d + I h(x,y)\otimes \sigma_y$$

Dónde$I$es la fuerza de interacción.

Simulación

Para la simulación numérica, esto se convierte en la siguiente PDE ($m=\hbar=1$WLOG):

$$\begin{align*} i \partial_t \psi(x,y,L,t)&=(-\frac{1}{2}\partial_x^2-\frac{1}{2}\partial_y^2+V(x,y))\psi(x,y,L,t) -i I h(x,y)\psi(x,y,R,t)\\ i \partial_t \psi(x,y,R,t)&=(-\frac{1}{2}\partial_x^2-\frac{1}{2}\partial_y^2+V(x,y))\psi(x,y,R,t) +i I h(x,y)\psi(x,y,L,t) \end{align*}$$

Básicamente, está simulando dos funciones de onda separadas, una para$L$y uno para$R$, pero el término$I$puede mezclar las dos funciones de onda y lo hará de una manera que perturbe la interferencia. Si$\psi(x,y,L)$se traza en azul y$\psi(x,y,R)$se traza en rojo, entonces para$I=0$vemos un patrón morado que muestra interferencia. Para$I$sintonizado a un buen valor, veremos que el patrón de interferencia desaparece y aparece una protuberancia azul-púrpura-roja sin que se muestre ningún patrón de interferencia.

Comentar sobre interacciones

La objeción habitual (también mencionada en Feynman) es que "bueno, estamos activando una interacción$I$, no es de extrañar que interfiera con la función de onda". El punto es que no hay forma alguna de obtener información de posición del espacio de Hilbert de la partícula$\mathcal{H}_x$y en el espacio de Hilbert del detector$\mathcal{H}_d$sin destruir el patrón de interferencia. Nada, nada, cero.

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*Yo elijo$\sigma_y$porque sé que esto hará que los estados evolucionen como$e^{-i H t}$, y$-i \sigma_y t$es$t\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, que es una matriz de rotación y me resulta más fácil de visualizar.

Al crear un "experimento mental", un problema principal es establecer condiciones que describan una configuración realista. La llamada "paradoja del capacitor" La paradoja que involucra dos capacitores solo surge porque la conexión está configurada para que no tenga inductancia.

Entonces, ¿cuál es la configuración del experimento de doble rendija con electrones? La energía cinética del electrón entrante es de aproximadamente 50 keV. El ancho de la hendidura es de aproximadamente 0,5 µm, la distancia de 2 µm. El artículo original: https://www.leifiphysik.de/quantenphysik/quantenobjekt-elektron/geschichte/originalarbeit-von-joensson muestra relaciones y dificultades.

Como es extremadamente difícil obtener el patrón, es extremadamente simple destruirlo. Pero eso no explica por qué existe el patrón.

Como escribió Jönsson: tiene que haber una ranura (en óptica funcionará una rejilla en un transparente) ya que ningún objeto material no está cubierto de electrones, y de hecho: los electrones entrantes solo ven un mar de electrones y dos áreas sin electrones. En el mundo clásico, cada electrón pasará a través de una única ranura (si no se refleja) y no veremos interferencia.

En el mundo cuántico se cuantiza la interacción entre dos electrones. Y ahora podemos ver dos casos:

El electrón entrante interactúa con un solo electrón en el mar y pasa por la ranura. Aparecerá en un lugar distinto. La posición del electrón marino está influenciada por todos los electrones circundantes, por lo que la geometría de las rendijas se reflejará en los puntos promedio de la pantalla del detector. Entonces lo que vemos es la interferencia entre dos electrones siguiendo las reglas de la mecánica cuántica. Entonces muchos de los electrones en promedio mostrarán el patrón de interferencia.

El segundo caso es: vemos el mar de electrones como una unidad condensada que da como resultado una sola función de onda compleja y la interferencia del electrón entrante con esta función de onda crea el patrón.

Sin embargo: existe una diferencia fundamental entre una interferencia macroscópica (donde una onda es solo una onda analógica) y una interferencia microscópica (donde una onda se construye a partir de partículas de onda elementales). Y no debemos olvidar que el experimento de la doble rendija sólo sorprende cuando no está relacionado con la interacción cuantificada entre partículas. Solo la propiedad integradora de la pantalla crea un patrón a partir de los eventos. No es una gran idea hacer estadísticas de eventos individuales.

Ahora, mientras pensaba que las funciones de onda plegables involucran la transformada de Fourier, busqué en Google "transformada de Fourier de doble rendija" y obtuve este resultado: https://www.thefouriertransform.com/applications/diffraction3.php

Eso hace que la doble rendija sea totalmente transparente ;-). Todos los electrones que crean una distribución espacial aparentemente de doble rendija forman una función de onda que a su vez plegada con la función delta "electrón" da exactamente el pie de la doble rendija sola. Al menos hasta donde puedo seguir.

El "experimento mental" de la doble rendija... consiste en disparar electrones a través de una doble rendija... y observarlos después de pasar las rendijas con una fuente de luz colocada detrás de la doble rendija...

Para generalizar esto se dice que cualquier interacción con el electrón cambia su trayectoria rectilínea de movimiento.

Como las cargas eléctricas dispersan la luz, uno puede "detectar" por qué rendija pasó el electrón...

¿Qué más puede desviar los electrones de su camino? Los electrones en movimiento podrían verse influenciados por la radiación EM, así como por los campos eléctricos y magnéticos. Para los campos magnéticos, esto se describe mediante la fuerza de Lorentz. La "Simulación numérica de la interferencia de doble rendija con átomos ultrafríos" mencionada por usted consiste en muchos cálculos Antes de las rendijas y Detrás de las rendijas . Pero, ¿qué pasa con los cálculos de la interacción de los electrones con la rendija o con los bordes de la rendija ?

Es extraño que tenga que haber, o mejor dicho, que haya una interacción entre las partículas que se mueven a través de la rendija y los bordes de la rendija, pero esta interacción no es objeto de consideración.

Solo mis dos centavos, debe calcularse la interacción entre las partículas en movimiento y los campos magnéticos y eléctricos de los electrones de la superficie de los bordes (afilados). Entonces podría explicarse fácilmente que una distribución de intensidad ocurre incluso detrás de bordes simples (afilados) e incluso con el tiempo con partículas en movimiento una por una.

Simulación numérica del experimento de doble rendija que incluye observar los electrones...

... en su interacción con la rendija parece ser la forma correcta de llevar a buen término las interminables discusiones sobre los experimentos de doble rendija.