Coeficiente de transmisión de un paquete de ondas gaussianas a través de una barrera de potencial

Question

Coeficiente de transmisión de un paquete de ondas gaussianas a través de una barrera de potencial

Física
simulaciones
función de onda
mecánica cuántica
tunelización cuántica
física computacional

Adri Escañuela

He simulado la dispersión de un paquete de ondas gaussianas con una barrera de potencial (Crank-Nicolson), ya través de muchas simulaciones he determinado la dependencia del coeficiente de transmisión con la altura de la barrera de potencial. Sin embargo, al intentar compararla con la función teórica falla.

Supongo que eso se debe principalmente a que la derivación del coeficiente se realiza para funciones de onda de la forma $\sim e^{ikx}$ . El coeficiente teórico que he estado usando es [Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Apéndice B3]:

{\begin{cases} T = {1 + [V_{0}^{2} / 4 mi (V_{0} - mi)] {pecado}^{2} (2 a \sqrt{2 metro (V_{0} - mi) / ℏ^{2}})}^{- 1} i F mi < V_{0} \\ T = {1 + [V_{0}^{2} / 4 mi (mi - V_{0})] {pecado}^{2} (2 a \sqrt{2 metro (mi - V_{0}) / ℏ^{2}})}^{- 1} i F mi > V_{0} \end{cases}

$\begin{cases} T=\{ 1+[V_0^2/4E(V_0-E)]\sinh ^2(2a\sqrt{2m(V_0-E)/\hbar^2}) \} ^{-1}\quad \mathrm{if} \quad E<V_0\\ T=\{ 1+[V_0^2/4E(E-V_0)]\sin ^2 (2a\sqrt{2m(E-V_0)/\hbar^2}) \} ^{-1}\quad \mathrm{if} \quad E>V_0\\ \end{cases}$

Y obtengo lo que se puede ver en la imagen, que está bastante apagado.

Ha habido algunos cambios de unidades, para que todo sea más fácil de tratar numéricamente, $m=1/2, \ \hbar=1, \ V_0=\lambda k^2, \ E=\hbar k^2/2m=k^2$ y $\lambda$ sería el eje x. Mis parámetros son: $a=200$ y $k=0.4398$ .

Yo creo que el principal problema tiene que ver con que la expresión solo sirve para una onda que está totalmente determinada en el momento-espacio, como dije, $\sim e^{ikx}$ , pero estuve buscando una expresión para gaussianos y fallé.

Puk

Por favor, etiquete sus ejes. ¿Cómo está definiendo/calculando el coeficiente de transmisión para un paquete de ondas gaussianas?

Adri Escañuela

El eje y es T y como he dicho, el eje x es lambda (relacionado con la altura de la barrera de potencial V_0). La definición de T ya está en el texto, simplemente reemplazando los parámetros después de la figura, para hacer una expresión más fácil.

Respuestas (1)

Coeficiente de transmisión de un paquete de ondas gaussianas a través de una barrera de potencial

Por favor, etiquete sus ejes. ¿Cómo está definiendo/calculando el coeficiente de transmisión para un paquete de ondas gaussianas?
El eje y es T y como he dicho, el eje x es lambda (relacionado con la altura de la barrera de potencial V_0). La definición de T ya está en el texto, simplemente reemplazando los parámetros después de la figura, para hacer una expresión más fácil.

Puk · Answer 1

Si su función de onda incidente es

ψ_{i} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} A (k) {mi}^{i (k X - ω_{k} t)} d k,

$\psi_i=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty{A(k)e^{i(kx-\omega_kt)}dk},$ la función de onda transmitida es

ψ_{t} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} α (k) A (k) {mi}^{i (k X - ω_{k} t)} d k

$\psi_t=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty{\alpha(k)A(k)e^{i(kx-\omega_kt)}dk}$ donde el coeficiente de transmisión para una onda incidente

e^{i k x}

$e^{ikx}$ es

T (k) = | α (k) |^{2}

$T(k)=|\alpha(k)|^2$ . El coeficiente de transmisión para el paquete de ondas sería

T^{'} = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} | ψ_{t} |^{2} d X}{\int_{- \infty}^{\infty} | ψ_{i} |^{2} d X} = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} T (k) | A (k) |^{2} d k}{\int_{- \infty}^{\infty} | A (k) |^{2} d k},

$T'=\frac{\int\limits_{-\infty}^\infty|\psi_t|^2dx}{\int\limits_{-\infty}^\infty|\psi_i|^2dx}=\frac{\int\limits_{-\infty}^\infty T(k)|A(k)|^2dk}{\int\limits_{-\infty}^\infty|A(k)|^2dk},$ donde se ha utilizado la relación de Parseval. En otras palabras, la probabilidad de transmisión es el promedio de

T (k)

$T(k)$ ponderado por

| A (k) |^{2}

$|A(k)|^2$ . El denominador seria solo

1

$1$ si su función de onda inicial está normalizada.

Trate de expresar su función de onda en el espacio de momento (es decir, calcular $A(k)$ ) y computación $T'$ como arriba para verificar sus resultados.

Genial, es $T(k)$ solo la misma expresión que he usado antes (pero convirtiendo E en k) o es otra que no conozco?

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Adri Escañuela

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