¿Se puede obtener un proceso de Wiener como el límite de un modelo de "tiempo de colisión sin memoria"?

Dejar$(N_t)_{t \geq 0}$ser un proceso de intensidad de Poisson$1$, y para cada$\lambda>0$y$t \geq 0$dejar

¿Es el caso de que para cada$T>0$, como$\lambda \to \infty$la ley de la$C([0,T],\mathbb{R})$variable aleatoria valorada$(W^{(\lambda)}_t)_{t \in [0,T]}$converge débilmente a la medida de Wiener en$C([0,T],\mathbb{R})$?

(Aquí,$C([0,T],\mathbb{R})$está equipado con la topología de convergencia uniforme.)

Observación. Si la respuesta es sí , entonces esta puede ser una forma más intuitiva físicamente de pensar en los procesos de Wiener que como el límite de una simple caminata aleatoria: un modelo de tiempos de colisión aleatorios de ida y vuelta "se siente más motivado físicamente" (particularmente cuando tratando de visualizar el movimiento browniano físico de las partículas) que una decisión aleatoria de moverse hacia la izquierda o hacia la derecha en cada paso de tiempo de una duración fija aparentemente arbitraria. También sería una buena manera de formalizar la noción de que el ruido blanco gaussiano unidimensional ("ilimitado") se puede obtener como un límite del ruido de Markov dicotómico ("limitado").

Si la respuesta a la pregunta es sí , entonces esto parece un hecho muy básico; ¿Hay alguna referencia con este hecho (ya sea como un teorema o un ejercicio)?

Mi muy cruda intuición para una respuesta positiva:

Se "siente obvio" que para grandes$\lambda$, el proceso estocástico$(W_t^{(\lambda)})_{t \geq 0}$tiene incrementos independientes "aproximadamente" estacionarios, y$\mathbb{E}[W_t^{(\lambda)}] \approx 0$para todos$t \geq 0$.

Así que ahora, para fijo$\tau>0$, consideremos la forma y la varianza de la distribución de$W_\tau^{(\lambda)}$. Para cada$n \in \mathbb{N}$, dejar$T_n=\inf\{t>0:N_{\lambda t}=n\}$. Dado que las variables aleatorias$T_i-T_{i-1}$son independientes y exponencialmente distribuidos con varianza$\frac{1}{\lambda^2}$, la varianza de$W_{T_n}^{(\lambda)}$es$\frac{n}{\lambda}$, y aplicando el teorema del límite central a$T_1 + (T_3-T_2) + (T_5-T_4) + \ldots$y para$(T_2-T_1) + (T_4-T_3) + (T_6-T_5) + \ldots$da eso por grande$n$, la distribución de$W_{T_n}^{(\lambda)}$tiene una forma aproximadamente normal. De ahí la distribución de$Y:=W_{T_{\lfloor \lambda\tau \rfloor}}^{(\lambda)}$es aproximadamente una distribución normal con una varianza de aproximadamente$\tau$. Ahora si arreglamos un pequeño$\varepsilon>0$, escribiendo$I_\varepsilon$para el intervalo estocástico

• $\tau \in I_\varepsilon$con alta probabilidad y
• la variable aleatoria$\max_{t \in I_\varepsilon} |W_t^{(\lambda)}-Y|$esta cerca de$0$con alta probabilidad.

Por tanto, parece intuitivo que la ley de$W_\tau^{(\lambda)}$debe ser aproximadamente igual a la ley de$Y$, y así en particular, debería estar aproximadamente distribuida normalmente con una varianza aproximada$\tau$.

Ahora publiqué una pregunta más general relacionada en MathOverflow, https://mathoverflow.net/questions/360363 . Si la respuesta a esa pregunta es sí , entonces la respuesta a esta también debería serlo (por el argumento de zhoraster usando el principio de invariancia generalizada preguntado en esa pregunta).