¿Se puede derivar la matriz de transformación de Lorentz utilizando la fórmula de cambio de base?

Las transformaciones de Lorentz se pueden ver de dos formas equivalentes. Primero como transformaciones activas que toman un vector en el espacio vectorial de Minkowski$\mathbb{R}^{1,3}$y dar un nuevo vector, preservando el producto interno de Minkowski$\eta : \mathbb{R}^{1,3}\times \mathbb{R}^{1,3}\to \mathbb{R}$. Segundo como transformaciones pasivas que se inducen sobre las coordenadas de un vector en una base ortonormal cuando se realiza un cambio de base a otra base ortonormal. Creo que aquí quieres entender el segundo punto de vista.

En tratamientos básicos es común ver las transformaciones de Lorentz como cambios de coordenadas. En este escenario lo que realmente está pasando es lo siguiente. Tienes una base ortonormal$\{e_\mu\}$en$\mathbb{R}^{1,3}$. Por lo tanto, cualquier vector$x\in \mathbb{R}^{1,3}$puede escribirse únicamente como

$$x=x^\mu e_\mu.\tag{1}$$

Si$\{e_\mu'\}$es una segunda base sobre$\mathbb{R}^{1,3}$el mismo vector se puede escribir también de forma única como

$$x = {x'}^\mu e'_\mu \tag{2}.$$

Por supuesto (1) y (2) deben ser iguales. Desde$e_\mu$es una base, puede escribirse en términos de$e'_\mu$como

$$e_\mu = \Lambda^\nu_{\phantom{\nu}\mu}e'_\nu\tag{3}.$$

Usando esto para igualar (1) y (2) da

$${x'}^\nu e_\nu' = \Lambda^\nu_{\phantom{\nu}\mu}x^\mu e'_\nu\tag{4},$$ y ahora la unicidad de la expresión de un vector en una base te da${x'}^\mu$en términos de$x^\nu$como $${x'}^\mu = \Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\nu} x^\nu\tag{5}.$$

Este es un análisis general que se puede hacer en cualquier espacio vectorial , realmente. Resumiendo lo escrito arriba es básicamente esto:

1. En un espacio vectorial, expansión en una base particular , define coordenadas en ese espacio: las coordenadas de un vector son solo los coeficientes de expansión;

2. Si cambia la base, tiene nuevas coordenadas que se pueden escribir en términos de las antiguas siguiendo la derivación anterior.

Ahora, ¿recuerdas cuando dije que la primera base era ortonormal? Con eso quise decir que si$\eta : \mathbb{R}^{1,3}\times \mathbb{R}^{1,3}\to \mathbb{R}$es el producto interno de Minkowski, tenemos

$$\eta(e_\mu,e_\nu)=\eta_{\mu\nu},\quad \eta_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\tag{6}.$$

Ahora bien, si restringe la atención a la clase de bases que son ortonormales, y exige que$\{e_\mu'\}$ser ortonormal también, entonces también debemos tener$\eta(e_\mu',e_\nu')=\eta_{\mu\nu}$. Escribe esta condición usando (3)

$$\eta(e_\mu,e_\nu)=\eta(\Lambda^\alpha_{\phantom{\alpha}\mu}e'_\alpha,\Lambda^\beta_{\phantom{\beta}\nu}e'_\beta)=\Lambda^\alpha_{\phantom \alpha \mu}\Lambda^\beta_{\phantom \beta \nu}\eta(e'_\alpha,e'_\beta)= \eta_{\alpha\beta}\Lambda^\alpha_{\phantom \alpha \mu}\Lambda^\beta_{\phantom \beta \nu}\tag{7}.$$

esto es lo mismo que

$$\eta_{\alpha\beta}\Lambda^\alpha_{\phantom \alpha \mu}\Lambda^\beta_{\phantom \beta \nu}=\eta_{\mu\nu},\tag{8}$$

que es solo la condición estándar que deben obedecer las transformaciones de Lorentz.