¿Por qué la condición se establece de esta manera para la contracción de longitud, en la derivación de las transformaciones de Lorentz?

Question

¿Por qué la condición se establece de esta manera para la contracción de longitud, en la derivación de las transformaciones de Lorentz?

Myung Jin Hyun

Estaba estudiando cómo se derivan las transformaciones de Lorentz y encontré esta tabla en Relatividad especial para principiantes entusiastas de David Morin. El marco imprimado $S'$ se considera que tiene una velocidad únicamente a lo largo de la dirección x positiva del no imprimado $S$ marco.

Me justifiqué las cuatro condiciones de la siguiente manera:

La dilatación del tiempo puede expresarse como $\Delta t_{other frame} = \gamma \Delta t_{proper}$ . El tiempo adecuado se mide en un reloj estacionario en el marco en cuestión, por lo que la condición $\Delta x' = 0$ y el resultado $\Delta t = \gamma \Delta t'$ Tuvo sentido. Esto fue porque $\Delta x' = 0$ implicaba que el reloj estaba estacionario en el marco en cuestión, y $\Delta t'$ era el momento adecuado.

Las afirmaciones 3 y 4 también podrían reconciliarse con una comprensión cualitativa del efecto del reloj trasero adelantado y el de la velocidad relativa (aunque soy un poco torpe al poner eso en palabras aquí. Si es necesario, lo explicaré). Las condiciones para la contracción de la longitud. y los resultados fueron confusos, sin embargo.

Como yo lo entiendo:

Para mediciones de longitud en un marco en particular, las mediciones deben ser simultáneas en ese marco en particular .

Entonces, con la condición $\Delta t' = 0$ , la implicación era que la medida de la longitud se estaba tomando en el marco imprimado . La idea básica de la contracción de la longitud es $\Delta l_{other frame} = {\Delta l_{proper}}/{\gamma}$ . Entonces, con la medición realizada en el marco imprimado, la longitud adecuada sería la longitud medida en el marco imprimado , es decir $\Delta x'$ . Dado que la observación de longitud en cualquier otro marco se contraerá, llegué a

Δ X = Δ X^{'} / γ

$\Delta x = \Delta x' / \gamma$

Esto contradice lo que dice la tabla:

Δ X^{'} = Δ X / γ

$\Delta x' = \Delta x / \gamma$

Así que me preguntaba cuál era la falacia en mi lógica. Realmente agradecería si alguien trabajara en mi argumento y explicara su error.

Batiato

Tenga en cuenta que "longitud adecuada" significa "longitud en reposo", que es la longitud de un objeto medido en el marco en el que está en reposo (digamos S). La longitud en reposo es siempre la mayor longitud del objeto, mientras que en todos los demás marcos (digamos S") el objeto está en movimiento y las mediciones simultáneas de los extremos de este objeto en movimiento proporcionan longitudes que son más cortas con respecto a la longitud en reposo, por lo tanto el nombre de "contracción de longitud".

Myung Jin Hyun

@Batiatus Entiendo qué es la contracción de longitud. Estaba confundido en cuanto a la lógica de las condiciones especificadas en la tabla: específicamente, por qué

Δ x^{'} = Δ x / γ

$\Delta x' = \Delta x/\gamma$ (y no al revés) cuando la medida se hace para

Δ t^{'} = 0

$\Delta t'=0$

Felipe

Mis respuestas a ¿Qué hay de malo en esta falsa derivación de la "dilatación" de la longitud? y ¿ Por qué se hace esta suposición al derivar la dilatación del tiempo? podría ser útil.

Respuestas (3)

¿Por qué la condición se establece de esta manera para la contracción de longitud, en la derivación de las transformaciones de Lorentz?

Tenga en cuenta que "longitud adecuada" significa "longitud en reposo", que es la longitud de un objeto medido en el marco en el que está en reposo (digamos S). La longitud en reposo es siempre la mayor longitud del objeto, mientras que en todos los demás marcos (digamos S") el objeto está en movimiento y las mediciones simultáneas de los extremos de este objeto en movimiento proporcionan longitudes que son más cortas con respecto a la longitud en reposo, por lo tanto el nombre de "contracción de longitud".
@Batiatus Entiendo qué es la contracción de longitud. Estaba confundido en cuanto a la lógica de las condiciones especificadas en la tabla: específicamente, por qué $\Delta x' = \Delta x/\gamma$ (y no al revés) cuando la medida se hace para $\Delta t'=0$
Mis respuestas a ¿Qué hay de malo en esta falsa derivación de la "dilatación" de la longitud? y ¿ Por qué se hace esta suposición al derivar la dilatación del tiempo? podría ser útil.

marco ocram · Answer 1

Sus interpretaciones de las condiciones 1, 3 y 4 son acertadas. Sin embargo, en términos concretos, la condición 2 significa que la fórmula de contracción de la longitud para una regla en S' vista desde S solo es válida si la regla está estacionaria en S' (es decir, las posiciones de ambos extremos están sujetas al mismo tiempo t ').

robar · Answer 2

Creo que la confusión con el elemento de contracción de longitud en la tabla (en la sección 2.1.1) radica en un sutil cambio de situación entre su "introducción de la contracción de longitud en la sección 1.3.3" y su "derivación de la transformación de Lorentz en la sección 2.1 .1". (Creo que los diagramas de espacio-tiempo y la notación adicional habrían ayudado a distinguir las situaciones. Las ecuaciones simbólicas ocasionalmente no son suficientes).

Cuando Morin introduce la Contracción de longitud en la sección 1.3.3,
la persona-B (SUELO) mide la longitud aparente del tren-A (TREN EN MOVIMIENTO) que tiene longitud en reposo $L_A$ . Su análisis determina que la persona-B mide

L_{B} = \frac{L_{A}}{γ} . (1.19)

$L_{B}=\frac{L_{A}}{\gamma}.\qquad(1.19)$ A expensas de la notación adicional, esto podría expresarse mejor (usando "wrt" = "con respecto a") como

L_{A, w r t B} = \frac{L_{A, w r t A}}{γ} .

$L_{A,wrtB}=\frac{L_{A,wrtA}}{\gamma}.$ Luego, Morin resume el resultado como

L_{o b s mi r v mi d} = \frac{L_{pag r o pag mi r}}{γ} . (1.20)

$L_{observed}=\frac{L_{proper}}{\gamma}.\qquad(1.20)$

En un diagrama de espacio-tiempo dibujado por la persona-B (SUELO),
dibujamos las líneas de tiempo paralelas azules (líneas del mundo) de la parte delantera y trasera del tren-A. Nota

OQ (la longitud propia del tren-A) y
OM (longitud medida del tren-A de la persona-B).

Tenga en cuenta que MQ (a lo largo de la línea de tiempo del frente del tren-A) es ortogonal a OQ (a lo largo de la línea espacial $t'=0$ ). Así que este es un triángulo rectángulo de Minkowski $OQM$ con ángulo recto en $Q$ , dónde $\theta$ es igual a la rapidez ( $v_{B,wrt A}=\tanh\theta$ y $\gamma=\cosh\theta$ ).
En este triángulo, $OM$ es la hipotenusa (ya que es opuesta al ángulo recto) y $OQ$ es el lado adyacente.

Entonces, $\displaystyle\gamma=\cosh\theta=\frac{ADJ}{HYP}=\frac{OQ}{OM}=\frac{L_{A,wrtA}}{L_{B,wrtA}}$ que se puede escribir como

\begin{aligned} (H Y PAG) & = \frac{(A D j)}{aporrear θ} \\ O METRO & = \frac{O q}{aporrear θ} = \frac{O q}{γ} (1.19, 1.20) \end{aligned}

$\begin{align} (HYP)&=\frac{(ADJ)}{\cosh\theta}\\ OM&=\frac{OQ}{\cosh\theta}=\frac{OQ}{\gamma}\qquad(1.19, 1.20) \end{align}$

Ahora, al derivar la transformación de Lorentz en 2.1.1,

Considere un marco de referencia $S'$ moviéndose en relación con otro marco $S$ , como se muestra en la figura 2.1. Sea la velocidad relativa constante de los marcos $v$
....
Nuestro objetivo es observar dos eventos y relacionar los $\Delta x$ y $\Delta t$ en $S$ hacia $\Delta x'$ y $\Delta t'$ en $S'$ .

En esta sección, Morin establece la forma de la transformación de Lorentz con $\Delta x =A \Delta x' +B\Delta t'$ .
Morin quiere usar "Contracción de longitud" para obtener el coeficiente- $A=\gamma$ configurando $\Delta x= \gamma \Delta x'$ .

De la tabla, elija dos eventos con $\Delta t'=0$ (así que no tenemos que preocuparnos por el coeficiente hasta ahora desconocido- $B$ ): eventos $O$ y $Q$ , que son simultáneos según persona-A (TREN EN MOVIMIENTO)

Δ t_{O q}^{'} = (t_{q}^{'} - t_{O}^{'}) = 0.

$\Delta t'_{OQ}=(t'_Q-t'_O)=0.$

Ahora, aquí está la parte importante.

Para esta derivación, Morin quiere (según su objetivo)

Δ X_{O q} = (X_{q} - X_{O}) en términos de Δ X_{O q}^{'} = (X_{q}^{'} - X_{O}^{'})

$\Delta x_{OQ}=(x_Q-x_O)\qquad\mbox{ in terms of $\Delta x'_{OQ}=(x'_Q-x'_O)$ }$ pero esto no implica directamente $\Delta x_{OM}=(x_M-x_O)$ de 1.3.3!
En cambio, involucra un par diferente (

O

$O$ y

N

$N$ ) de eventos simultáneos según persona-B (SUELO), donde

Δ X_{O q} = Δ X_{O norte} .

$\Delta x_{OQ}=\Delta x_{ON}.$ Es decir, usa el evento

N

$N$ de modo que

x_{Q} = x_{N}

$x_Q = x_N$ .
(¿Qué tiene de especial el evento

M

$M$ es eso

x_{Q}^{'} = x_{M}^{'}

$x’_Q=x’_M$ , que no nos ayuda con

x_{Q}

$x_Q$ como

N

$N$ hace.)

En un diagrama de espacio-tiempo dibujado por la persona-B (SUELO),
considere un tren de diferentes tamaños en reposo según la persona-B (SUELO, CON TREN-DESCANSO) que la persona-A (TREN-EN MOVIMIENTO) mide usando eventos $O$ y $Q$ .
Dibuje paralelos rojos a la línea de tiempo de B a través del evento-O y del evento-Q.
Nota:

ON (la longitud propia de este tren B de diferente tamaño),
donde $N$ es el evento en el frente paralelo que la persona-B dice simultáneamente con $O$ .
OQ (longitud medida por la persona A de este tren B de diferente tamaño).

Tenga en cuenta que $ONQ$ es un triángulo rectángulo de Minkowski, con un ángulo recto en $N$ (entonces $OQ$ es la hipotenusa) y lo mismo $\theta$ como antes. Así (siguiendo las ideas de arriba),

\begin{aligned} (H Y PAG) & = \frac{(A D j)}{aporrear θ} \\ O q & = \frac{O norte}{aporrear θ} = \frac{O norte}{γ} \end{aligned}

$\begin{align} (HYP)&=\frac{(ADJ)}{\cosh\theta}\\ OQ&=\frac{ON}{\cosh\theta}=\frac{ON}{\gamma} \end{align}$

Comparar el papel de $OQ$ aquí y en (1.19) arriba.

Expresando estos resultados en el $\Delta x$ -notaciones (necesarias para 2.1.1)

de 1.3.3,

\begin{aligned} (H Y PAG) & = \frac{(A D j)}{aporrear θ} \\ O METRO & = \frac{O q}{aporrear θ} = \frac{O q}{γ} (1.19, 1.20) \\ Δ X_{O METRO} & = \frac{Δ X_{O q}^{'}}{aporrear θ} = \frac{Δ X_{O q}^{'}}{γ} (1.19, 1.20 dónde O q es la longitud propia del tren-A) \end{aligned}

$\begin{align} (HYP)&=\frac{(ADJ)}{\cosh\theta}\\ OM&=\frac{OQ}{\cosh\theta}=\frac{OQ}{\gamma} \qquad(1.19,1.20)\\ \Delta x_{OM}&=\frac{\Delta x'_{OQ}}{\cosh\theta}=\frac{\Delta x'_{OQ}}{\gamma} \qquad(1.19,1.20 \mbox{ where $OQ$ is the proper-length of train-A}) \end{align}$

de 2.1.1,

\begin{aligned} (H Y PAG) & = \frac{(A D j)}{aporrear θ} \\ O q & = \frac{O norte}{aporrear θ} = \frac{O norte}{γ} \\ Δ X_{O q}^{'} & = \frac{Δ X_{O norte}}{aporrear θ} = \frac{Δ X_{O norte}}{γ} = \frac{Δ X_{O q}}{γ} (1.20 dónde O q es la longitud observada del tren-B) \end{aligned}

$\begin{align} (HYP)&=\frac{(ADJ)}{\cosh\theta}\\ OQ&=\frac{ON}{\cosh\theta}=\frac{ON}{\gamma}\\ \Delta x'_{OQ}&=\frac{\Delta x_{ON}}{\cosh\theta}=\frac{\Delta x_{ON}}{\gamma}=\frac{\Delta x_{OQ}}{\gamma} \qquad(1.20 \mbox{ where $OQ$ is the observed-length of train-B}) \end{align}$ de modo que

Δ x_{O Q} = γ Δ x_{O Q}^{'}

$\Delta x_{OQ} = \gamma \Delta x'_{OQ}$ , lo que implica que el coeficiente

A

$A$ es igual a

γ

$\gamma$ .

Nuevamente, creo que los diagramas de espacio-tiempo y la notación adicional ayudarían a distinguir las situaciones.

@Glowingbluejuicebox ¿Responde esto a su pregunta de recompensa?

ashley waldron · Answer 3

Esta parte del libro también me tomó por sorpresa, pero creo que el problema que tienes radica en tu comprensión de cuál es la longitud adecuada de algo. La longitud adecuada de algo no es la longitud medida en su marco (cualquiera que sea el marco), es la longitud que tiene algo cuando se mide en su propiomarco de descanso. Esto se destaca justo después de la ecuación 1.20 para la contracción de la longitud en la página 59. También encontré la Pregunta 24 en el Apéndice A realmente útil para comprender la asimetría relacionada entre las derivaciones para la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud. También es similar a la fórmula de dilatación del tiempo 1.14 en la página 51, donde verá que el 'tiempo propio' es el tiempo que se mide en el marco donde el reloj está en reposo. Por lo tanto, propio significa 'la medida que se toma en el marco de reposo de la cosa'.

Entonces, la explicación final es: el marco imprimado es el que realiza la medición (como ha dicho) ya que $\Delta t′=0$ , pero la longitud propia de algo se define como 'la longitud que algo tiene cuando se mide en su propio marco de reposo'. Entonces el $\Delta x′$ la persona está midiendo la cosa, pero la cosa está en reposo en un marco diferente. Por lo tanto la medida $\Delta x′$ va a ser igual a la longitud adecuada (la longitud que tiene en su marco de descanso, que es $\Delta x$ ) dividido por $\gamma$ .
En realidad, es solo la fórmula de contracción de longitud estándar pero con los marcos cambiados. Entonces, algo así como, en lugar de un observador en el suelo, midiendo la longitud de un tren que pasa zumbando como si estuviera contraído. Esto solo dice que el tren mide la longitud de la estación que pasa zumbando mientras se contrae.

¿Por qué la condición se establece de esta manera para la contracción de longitud, en la derivación de las transformaciones de Lorentz?

Myung Jin Hyun

Batiato

Myung Jin Hyun

Felipe

Respuestas (3)

marco ocram

robar

robar

ashley waldron

¿Por qué es necesario que diferentes observadores estén de acuerdo en el valor del intervalo de espacio-tiempo ds2ds2ds^2?

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