¿Se puede derivar la acción de Einstein-Hilbert a partir de consideraciones de simetría?

Bueno, uno puede razonar de la siguiente manera:

• Uno quiere una acción invariante de difeomorfismo, que debe ser de la forma

  $$S=\int d^4x\sqrt{-g}L,$$ dónde$L$es un escalar en términos de propiedades de transformación.

• Se supone que la gravedad es puramente métrica, por lo que$g_{\mu\nu}$es la única variable dinámica que puede aparecer en la acción.

• Entonces debemos buscar escalares que puedan construirse a partir de la métrica. uno es por supuesto$g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=4$, pero dado que podemos cambiar la escala por constantes, esto es básicamente una constante. Normalmente no le importarían las constantes, pero aquí las constantes contribuyen, porque se multiplican por el determinante métrico.

• En un punto arbitrario$p$, puede configurar coordenadas tales que$g_{\mu\nu}(p)=\eta_{\mu\nu}$y$\partial_\mu g_{\nu\rho}(p)=0$, por lo que no hay escalares que se puedan construir a partir de la métrica y sus primeras derivadas. Uno necesita buscar derivados más altos.

• El tensor de curvatura$R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}$es un buen candidato. Hay formas de demostrar que el tensor de Riemann es básicamente único o "más general" como un tensor, por lo que realmente no necesitamos buscar más.

• Cabe señalar que una de las razones por las que no queremos que el lagrangiano contenga derivadas segundas o superiores se debe a las inestabilidades de Ostrogradsky . Sin embargo, se evita la inestabilidad de Ostrogradsky si el lagrangiano es lineal en las segundas derivadas.

• Es fácil comprobar que el tensor de curvatura de Riemann es lineal en las segundas derivadas de las componentes métricas.

• Uno necesita formar un escalar a partir de$R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}$, sin embargo, cualquier escalar producido al elevar al cuadrado un tensor de curvatura arruinará la linealidad en las segundas derivadas. esto descarta$R^{\rho\sigma\mu\nu}R_{\rho\sigma\mu\nu},\ C^{\rho\sigma\mu\nu}C_{\rho\sigma\mu\nu},\ R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}$etc. Sin embargo, la curvatura escalar$R=R^\rho_{\mu\rho\nu}g^{\mu\nu}$sigue siendo lineal en las segundas derivadas.

• esto nos da

  $$L=\alpha R+\beta$$ como un posible lagrangiano escalar, donde$\alpha$y$\beta$son constantes. Por supuesto$\beta$puede ser cero,$\alpha$no tanto. Factorizamos como $$L=\alpha\left(R+\frac{\beta}{\alpha}\right),$$ con$\alpha=\frac{1}{2\kappa}$y$\beta=-\frac{\Lambda}{\kappa}$Llegar $$L=\frac{1}{2\kappa}\left(R-2\Lambda\right),$$ que es el Lagrangiano para la Ecuación de Campo de Einstein (ampliada con la constante cosmológica), siempre que$\kappa=\frac{8\pi G}{c^4}$.