¿Cómo implica el principio de equivalencia un espacio-tiempo curvo?

Estoy un poco confundido en cuanto a cómo el Principio de Equivalencia implica un espacio-tiempo curvo. O si no implica un espacio-tiempo curvo, entonces, ¿qué es exactamente lo que hace necesario tener un espacio-tiempo curvo?

Muy bien podría tener marcos inerciales locales en un espacio-tiempo plano en coordenadas arbitrarias. Las partículas sobre las que sólo actúa la gravedad podrían seguir trayectorias curvas en el espacio-tiempo plano y sus trayectorias serían localmente rectas .

Entonces, ¿qué fuerza exactamente a la variedad a curvarse? ¿Cómo se obtiene exactamente el resultado de que nuestro espacio-tiempo debería ser curvo ?

¿Por qué no estudiar la gravedad como un campo de fuerza de fondo en un espacio-tiempo plano?

Editar después de la respuesta :

¿Por qué podemos simplemente suponer que las líneas del mundo de las partículas que caen libremente son curvas y no rectas sino en un espacio-tiempo plano?

Entonces la divergencia de las geodésicas que es explicada por el Tensor de Riemann no necesitaría esa explicación. Dos cuerpos que caen muy bien podrían acercarse porque su mundanalidad estaría curvada en el espacio-tiempo plano.

¿Por qué no modelamos la gravedad como un campo de fuerza externo en un espacio-tiempo plano como otros campos de fuerza?

Respuestas (3)

Primero, considere el espacio-tiempo sin gravedad. Observa que los objetos inerciales tienen líneas de mundo que son líneas rectas en el espacio-tiempo y los acelerómetros miden cuánto se dobla una línea de mundo en el espacio-tiempo, con una lectura de acelerómetro de cero correspondiente a la línea de mundo recta de un objeto inercial. Es importante destacar que los objetos inerciales en reposo entre sí tienen líneas de mundo paralelas y nunca se cruzan.

Ahora, un marco inercial consta de una cuadrícula de coordenadas de líneas rectas en el espacio-tiempo, y un marco de aceleración consiste en una cuadrícula de coordenadas de líneas que se curvan en la dirección de la aceleración. Describir la línea de mundo recta de un objeto inercial en las coordenadas de aceleración produce una fuerza ficticia (símbolos de Christoffel). Por el principio de equivalencia, la fuerza ficticia es localmente equivalente a la gravedad. Dado que las fuerzas ficticias no cambian el hecho de que una línea de mundo inercial (lectura 0 del acelerómetro) es recta, tampoco la gravedad puede cambiar una línea de mundo para que no sea recta. De lo contrario, la gravedad no sería localmente equivalente a una fuerza ficticia.

Luego, extiende esas ideas a un espacio-tiempo global con gravedad. Los objetos en caída libre tienen acelerómetros que marcan cero, por lo que sus líneas de mundo son rectas. Pero dos objetos en caída libre inicialmente en reposo el uno con respecto al otro pueden eventualmente cruzarse. Así que tenemos líneas rectas que inicialmente son paralelas entre sí pero eventualmente se cruzan. Esto es imposible en un espaciotiempo plano, pero sucede fácilmente en un espaciotiempo curvo.

El principio de equivalencia solo se aplica localmente en regiones pequeñas donde la gravedad es aproximadamente uniforme y el espacio-tiempo es aproximadamente plano. Sobre grandes regiones del espacio-tiempo, la gravedad no es uniforme, y es esa gravedad no uniforme (gravedad de marea) la que es la curvatura del espacio-tiempo.

Está bien, entiendo eso. Pero estoy diciendo que por qué no podemos asumir que la mundanalidad de las partículas que caen libremente son curvas y no rectas en el espacio-tiempo plano. ¿Entonces dos cuerpos en caída libre podrían muy bien acercarse uno al otro sin el requisito de un tensor de Riemann? ¿Por qué no modelar la gravedad como un campo de fuerza externo en un espacio-tiempo plano como otros campos de fuerza? Por favor vea la edición para los detalles.
@Shashaank precisamente por el principio de equivalencia. El principio de equivalencia dice que localmente la gravedad es equivalente a una fuerza ficticia. Las fuerzas ficticias dejan la línea del mundo recta y no la curvan. Supongo que no lo transmití claramente. Agregaré alguna explicación en la respuesta.
Permítanme decirlo así: "¿por qué el hecho de que la gravedad localmente se comporte como una fuerza ficticia obliga a nuestra variedad a curvarse o por qué este hecho no permite estudiar la gravedad como un campo de fuerza externo que actúa en segundo plano en el espacio-tiempo plano? .
Creo que lo entiendo. El espacio-tiempo curvo no habría sido necesario si la gravedad se comportara como una fuerza ficticia globalmente y no solo localmente. Como un cuadro acelerado. La fuerza ficticia es la misma globalmente y, por lo tanto, el tensor de Riemann para la métrica desaparece en ese caso. Pero el hecho de que la gravedad se pueda eliminar localmente significa que cualquier métrica para la cual el tensor de Riemann se desvanezca no explicaría tal situación. Un campo gravitatorio constante simplemente actuará como una fuerza ficticia y, por lo tanto, podría estudiarse en el espacio-tiempo de Minkowski, como en la aproximación newtoniana que consideramos. \ h
(cont.) como una perturbación de fondo. Podríamos considerar la perturbación en la métrica de Minkowski porque fue constante en todo momento. Solo porque las fuentes gravitacionales reales no producen campos gravitatorios constantes, se hace necesario modelarlos en un espacio-tiempo curvo. Creo que lo entiendo. ¿Esta todo bien? ¿O te gustaría señalar alguna corrección?
@Shashaank eso me parece bien. Creo que lo conseguiste

Un observador en un marco acelerado uniforme, que es el ejemplo típico del principio de equivalencia, tiene un espacio-tiempo plano.

Pero es difícil imaginar un montón de materia que pueda generar un campo como ese. La materia tiende a concentrarse en forma aproximadamente esférica, generando un campo no uniforme, donde el tensor de Riemann no es cero.

La mejor respuesta simple que he encontrado para esto está en The Feynman Lectures.

Por el principio de equivalencia, los relojes a diferentes alturas miden el tiempo a ritmos diferentes.

[En un cohete que acelera a g, (tasa en el receptor a la altura H) = (tasa de emisión)( 1 + gramo H / C 2 )]

Pero eso no te da curvatura. Para llegar a la curvatura, Feynman te pide que consideres dos caminos en el espacio-tiempo que se encontrarían si no hubiera gravedad. El primer camino es a lo largo del eje del tiempo de 100 segundos a B. No te mueves en el espacio; solo en el tiempo. Luego sube en el espacio H pies hasta el punto D. El segundo camino es hacia arriba en el espacio H pies hasta el punto C. Luego espera 100 segundos. Encontrará que no está en el punto D en el espacio-tiempo. Porque el tiempo fue más rápido en la altura H. Esa es la curvatura del espacio-tiempo.

Las conferencias de Feynman. Volumen 2. Capítulo 42.

https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_42.html

Entonces, el principio de equivalencia por sí solo no te da la curvatura del espacio-tiempo. Para obtener la curvatura, también debe comparar diferentes regiones en el espacio-tiempo.

¿Por qué no modelamos la gravedad como un campo de fuerza externo en un espacio-tiempo plano al igual que otros campos de fuerza?

La dificultad que tuvo Einstein fue que necesitaba una teoría relativista. Y también quería que explicara el efecto de la gravedad sobre la luz. No es fácil llegar a tal teoría de campo de la gravedad. Son suposiciones restrictivas. Y luego su teoría pasó a ser confirmada por experimentos.

También existen modelos de pequeñas áreas de espacio-tiempo como el newtoniano. Las "fuerzas" de marea de GR se modelan como fuerzas regulares. La teoría de Newton también es una aproximación de GR. Pero hay muchas cosas GR que no obtendrás de la gravedad newtoniana, obviamente. Nunca verás que los relojes se desaceleren debido a las ecuaciones de la gravedad newtoniana.

Me gustó esta respuesta. ¿Conoce algún intento de estudiar la gravedad como un campo de fuerza externo? ¿Cuáles fueron exactamente los problemas al hacerlo? ¿No era posible tener una influencia de propagación finita como trasfondo en el espacio-tiempo de Minkowski? Cuando la intensidad del campo es menor, podemos estudiarlo como un campo de fondo en el tiempo de Minkowski. ¿Fue la propagación finita de la gravedad en el régimen de campo fuerte un problema para estudiarla como un campo externo en el espacio-tiempo de Minkowski?
Dado que la ley de Newton es similar a la fuerza electrostática, estoy seguro de que alguien debe haber intentado modelar la gravedad en la electrodinámica. Pero la luz no tiene masa ni carga, por lo que esa teoría no podría explicar la curvatura de los rayos de luz y las lentes gravitatorias. Lo invertiría y preguntaría por qué, dado que GR es cierto, no se puede describir lo mismo sin GR. Lo principal es que GR usa vectores y tensores que mezclan espacio y tiempo y una teoría no relativista no hará eso. Pero no soy un experto. Y sí creo que hay mucho más que decir sobre este tema.
(E&M es relativista, por supuesto).
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