¿Se puede definir la ecuación de Schrödinger como observable de otra cantidad?

Puedes resolver esa ecuación si quieres, pero la solución no necesariamente significará nada. El hamiltoniano está directamente ligado a la evolución temporal incluso en la mecánica clásica, por la ecuación

$$\frac{df}{dt} = \{H, f\}$$ donde el lado derecho es el corchete de Poisson. Incluso en la mecánica lagrangiana, el hamiltoniano aparece como la cantidad conservada de la simetría de traslación del tiempo. Y en relatividad especial, el hamiltoniano tiene que estar ligado al tiempo si el impulso está ligado al espacio.

El punto es que el vínculo entre los hamiltonianos y el tiempo es realmente profundo, por lo que no está claro qué significaría su ecuación alternativa de Schrödinger. Si realmente tuviera una función de onda que satisficiera su ecuación, entonces$K$simplemente sería igual al hamiltoniano, y no tendría sentido llamarlo de otra manera.

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Sin embargo, si no quisiéramos centrarnos en la evolución del tiempo, podríamos reemplazar$t$con un parámetro formal$\alpha$y definir

$$\frac{d}{d\alpha} \psi = - \frac{i}{\hbar} K \psi.$$ Esta ecuación tiene sentido para general$K$, y resolverlo puede decirle un poco sobre el significado físico de$K$. Por ejemplo, si elige$K$para ser el impulso, obtendrías $$\psi(x, \alpha) = \psi(x - \alpha).$$ Es decir, la transformación generada por el impulso es solo una traducción espacial, como sabes por la mecánica clásica. Si cambia a la imagen de Heisenberg y hace lo mismo, el resultado es directamente análogo a cómo genera funciones (aquí,$K$) corresponden a familias de un parámetro de transformaciones canónicas en mecánica clásica.