Operador de Energía Cinética en Mecánica Cuántica

En primer lugar, me gustaría señalar claramente que no soy físico, pero soy un ingeniero nano que estudia mecánica cuántica para comprender mejor mi trabajo en ciencias de la superficie, así que no presuman mis conocimientos porque me faltan los formación estricta de un físico típico.

Habiendo dicho eso, si comienzo de la interpretación de Born

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\psi\psi^{*}\,\mathrm{d}x=1 \tag{1}$$ Entiendo el valor más expectante $<x>$podría definirse como $$\left<x\right>=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}x\psi\,\mathrm{d}x.\tag{2}$$

De aquí, si tuviera que derivar el operador de impulso que, según entiendo, solo de las matemáticas (recuerde que soy un absoluto analfabeto en física), es un valor escalado de **masa* de* la tasa de cambio del valor más esperado de la función de onda o lo que yo llamaría la evolución temporal de la función de onda que es

$$\left<p\right>=m\frac{\partial\left<x\right>}{\partial t}\tag{3}.$$ Por eso,

$$\left<p\right>=\int_{-\infty}^{+\infty}x\left(\psi^{*}\frac{\partial \psi}{\partial t}+\psi\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}\right)\,\mathrm{d}x.\tag{4}$$ Ahora, mirando el TDSE, multiplicando con la función de onda conjugada y tomando conjugados complejos e integrando dos veces, llego con $$\left<p\right>=\frac{i\hbar}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\psi\frac{\partial\psi^{*}}{\partial x}-\psi^{*}\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)\,\mathrm{d}x.\tag{5}$$

yo tambien me imagino que

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\psi\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x}\,\mathrm{d}x=-\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}\frac{\partial \psi}{\partial x}\,\mathrm{d}x.\tag{6}$$ Por eso, $$\left<p\right>=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}\frac{\hbar}{i}\frac{\partial \psi}{\partial x}\,\mathrm{d}x.\tag{7}$$ Por lo tanto, el operador de cantidad de movimiento podría escribirse como $$\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}.\tag{8}$$ Ahora, la pregunta es cuando trato de derivar el operador de energía cinética, ¿es la siguiente ecuación el camino correcto a seguir? $$\left<KE\right>=\frac{1}{2m}\left<p\right>\left<p\right>\tag{9}$$ o debería más bien apuntar a $$\hat{KE}=\frac{1}{2m}\hat{p}\hat{p}~?\tag{10}$$ En primer lugar, el enfoque inferior no tiene ningún sentido, ni matemática ni físicamente. El enfoque superior tiene sentido matemático, pero no veo el sentido físico en ABSOLUTO. Quiero decir, llamamos a la tasa de cambio escalada de masa del valor más esperado de la distribución como impulso y luego tomamos el cuadrado de eso y llamamos energía cinética a su valor escalado. No parece tener ningún sentido, pero lo que es más molesto es que el enfoque inferior da resultados directamente y no tiene sentido físico ni matemático para mí. No puedo unir ningún punto lógicamente. Amablemente ayuda