¿Se permite la fórmula de longitud infinita en ZFC?

Voy a suponer que te refieres a "fórmula" en el sentido lógico de la palabra. Las fórmulas no viven "dentro$\sf ZFC$", sino en la lógica fuera de ella, que es lógica de primer orden y por lo tanto no permite fórmulas infinitas.

Sin embargo, internamente a$\sf ZFC$podemos definir la lógica de primer orden, y podemos definir lógicas más fuertes, como las lógicas infinitas$\mathcal L_{\kappa,\lambda}$que permiten la conjunción y disyunción de$<\kappa$fórmulas y$<\lambda$cuantificadores.

Pero realmente no necesitamos eso para cosas simples, que podrías haber tenido en mente, podemos hablar de funciones cuyo dominio es una función de un conjunto infinito en el dominio. por ejemplo, un$\omega$-tuple es solo una función de$\omega$en$X$. Entonces una función tomando$\omega$variables es realmente una función que toma como entrada una función de$\omega$en$X$.

Esto se puede extender de varias maneras diferentes, pero como con todo lo demás en matemáticas, una vez que permites infinitos objetos en tu sistema, agregas dificultades y algunos casos requieren consideraciones más atentas y cuidadosas.

En ZFC, las secuencias se representan mediante funciones sobre$\mathbb{N}$. Y las funciones, a su vez, están representadas por conjuntos de pares que asignan un elemento del dominio a un elemento del codominio. Así, una secuencia en ZFC corresponde a un conjunto$\{(0,a_0),(1,a_1),\ldots\}$, donde los pares $(a,b)$soporte para el conjunto$\{a,\{a,b\}\}$. Por lo tanto, un conjunto puede representar una secuencia completa, por lo que no se requieren fórmulas infinitas para hablar de conjuntos infinitos.

Los axiomas de ZFC generalmente se formalizan en lógica de predicados de primer orden, lo que no permite fórmulas infinitas. En principio, podría tomar los axiomas de ZFC y usar algún tipo de lógica infinita. Pero para estas lógicas, los teoremas de compacidad y completitud fallan, por lo que tendrías que andar con mucho cuidado. Estos teoremas garantizan que las oraciones son semánticamente verdaderas (es decir, verdaderas en todos los modelos) exactamente si son demostrables, y que las teorías son semánticamente consistentes (es decir, tienen un modelo) exactamente si no prueban contradicción. Estas no son propiedades a las que uno renunciaría a la ligera.